第一章組合與推理
第一講邏輯推理
【專題導引】
解答推理問題常用的方法有：排除法、假設法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮：
1、選準突破口，分析時綜合幾個條件進行判斷。
2、根據題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結論。
3、對可能出現的情況作出假設，然後再根據條件推理，如果得到的結論和條件不矛盾，說明假設是正確的。
4、遇到比較複雜的推理問題，可以借助圖表進行分析。
【典型例題】
【例1】桌上有排球、足球、籃球各1個。排球在足球的右邊，籃球在足球的左邊。請按從左到右的順序排列出球的擺放情況。
【試一試】
1、甲、乙、丙比身高，甲說：「丙的身高沒有乙高。」乙說；「甲的身高比丙高。」丙說：「乙比甲矮。」問：最高的是誰？
【例2】劉老師、夏老師和胡老師三人在語、英、數三門課中每人教一門課。已知：
夏老師：我不教數學。
胡老師：我既不教語文，也不教數學。
請你說這三位老師分別教什麼課？
【試一試】
1、有4個球，編號為①、②、③、④，其中3個球一樣重，有乙個球比其他球輕1克。為了找出這個輕球用天平稱了兩次，結果如下：
第一次：①+②比③+④輕；
第二次：①+③比②+④重。
那麼，輕球的編號是幾？
【例3】有三個小朋友在談論誰做的好事多。
冬冬說：「蘭蘭做的比靜靜多。」
蘭蘭說：「冬冬做的比靜靜多。」
靜靜說：「蘭蘭做的比冬冬少。」
這三位小朋友中誰做的好事最多？誰做的好事最少？
【試一試】
1、盧剛，丁飛和陳俞一位是工程師，一位是醫生，一位是飛行員。
現在只知道：
盧剛和醫生不同歲；
醫生比丁飛年齡小；
陳俞比飛行員年齡大。
請問，誰是工程師，誰是醫生，誰是飛行員？
2、小李、小徐和小張是同學，大學畢業後分別當了教師，數學家和工程師。
小張年齡比工程師大；
小李和數學家不同歲；
數學家比小徐年齡小。
想一想，誰是教師，誰是數學家，誰是工程師。
【例4】有乙個正方體，每個面分別寫上漢字；數學奧林匹克。三個人從不同角度觀察的結果如下圖所示。問這個正方體的每個漢字的對面各是什麼字？
（123）
【試一試】
1、下面三塊正方體的六個面都是按相同的規律塗有紅黃藍綠白黑六種色。請判斷黃色的對面是什麼顏色？白色的對面是什麼顏色？紅色的對面是什麼顏色？
（abc）
2、乙個正方體，六個面分別寫上abcdef，你能根據這個正方體不同擺法，求出相對的兩個面的字母是什麼？
【例5】甲乙丙三個孩子踢球打碎了玻璃窗，甲說：「是丙打碎的」。乙說：「我沒有打碎玻璃窗」，丙說：「是乙打碎的。」他們當中只有乙個人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃窗？
【試一試】
1、已知甲、乙、丙三個中，只有乙個人會開汽車。
甲說：「我會開汽車。」乙說：「我不會開」。丙說：「甲不會開汽車」。如果三個人中有乙個講的是真話，那麼誰會開汽車？
2、某學校為表揚好人好事核實一件事，老師找了a、b、c三個學生。a說：「是b做的。
」b說：「不是我做的」。c說：
「不是我做的。」這三個中只有乙個人說了實話，這件好事是誰做的？
【※例6】甲、乙、丙、丁四個人同時參加數學競賽。賽後，甲說：「丙是第一名，我是第三名。
」乙說：「我是第一名，丁是第四名。」丙說：
「丁是第二名，我是第三名。」丁沒有說話。成績揭曉時，大家發現甲乙丙三個人各說對一半。
你能說出他們的名次嗎？
【※試一試】
1、甲、乙、丙、丁四個人進行游泳比賽。賽前名次眾說不一。有的說：
「甲是第二名，丁是第三名。」有的說：「甲是第一名，丁是第二名。
」有的說：「丙是第二名，丁是第四名。」實際上，上面三種說法各說對一半。
問甲、乙、丙、丁各是第幾名？
2、紅、黃、藍、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、戊五個人猜各包裡的珠子的顏色。
甲猜：第2包紫色，第3包黃色。乙猜：
第2包藍色，第4包紅色。丙猜：第1包紅色，第5包白色。
丁猜：第3包藍色，第4包白色。戊猜：
第2包黃色，第5包紫色。
結果每個人各猜對了一半，他們各猜對了哪種顏色的珠子？
【※例7】a、b、c、d與小強五個同學一起參加象棋比賽，每兩人都賽一盤，比賽一段時間後統計，a賽了4盤，b賽了3盤，c賽了2盤，d賽了1盤，問小強已經賽了幾盤？
【※試一試】
1、上海、遼寧、北京、山東四個省足球隊進行迴圈賽，到現在為止，上海隊賽了3場，遼寧隊賽了2場，山東隊賽了1場，問北京賽了幾場？
2、明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思和毛毛六人參加一次會議，見面時每兩人都要握1次手，明明已握了5次手，冬冬握了4次手，蘭蘭握了3次手，靜靜握了2次，思思握了1次手。問毛毛握了幾次手？
課外作業
家長簽名
1、小光和小芳一起去買《雷鋒的故事》這本書，小光乙個人買缺1分錢，小芳一人去買缺2元7角錢，用他們兩人的錢合起來買這本書，錢還是不夠，這本書的價錢是多少？
2、有甲、乙、丙、丁4人住在一座4層的樓房裡，他們之中有工程師、工人、教師和醫生。如果已知：
①甲比乙住的樓層高，比丙住的樓層低，丁住第4層。
②醫生住在教師的樓上，在工人樓下。
③工程師住在最低層。
試問：甲、乙、丙、丁各住在這座樓的幾層？各自的職業是什麼？
3、江波、劉曉、吳萌三位老師，其中一位教語文，一位教數學，一位教英語。已知：江波和語文老師是鄰居；吳萌和語文老師不是鄰居；吳萌和數學老師是同學。
請問：三位老師分別教什麼科目？
4、 五個相同的正方體木塊，按相同的順序在上
面寫上數字1～6，把木塊疊成右圖，那麼，2
的對面是幾？4的對面是幾？5的對面是幾？
5、abcd四個小孩踢球打碎了玻璃。
a說：「是c或d打碎的。」b說：「是d打碎的。」c說：「我沒有打碎玻璃窗」。d說：「不是我打碎的。」他們中只有乙個人說了謊，到底是誰打碎了玻璃窗？
※6、張老師要五個同學給鄱陽湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪澤湖每個湖泊上寫上號碼，這五個同學只認對了一半，他們是這樣回答的：
甲：2是巢湖，3是洞庭湖；乙：4是鄱陽湖，2是洪澤湖；丙：
1是鄱陽湖，5是太湖；丁：4是太湖，3是洪澤湖；戊：2是洞庭湖，5是巢湖。
請寫出各個號碼所代表的湖泊。
※7、甲、乙、丙、丁比賽桌球，每兩人要賽一場。結果甲勝了丁，並且甲、乙、丙三人勝的場數相同。問丁勝了幾場？
我的學習收穫
第二講容斥問題
【專題導引】
容斥問題涉及到乙個重要原理—包含與排除原理,也叫容斥原理。即當兩個計數部分有重複包含時,為了不重複的計數,應從它們的和中排除重複部分。
容斥原理:對n個事物,如果採用兩種不同的分類標準,按性質a分類與性質b分類(如圖),那麼具有性質a或性質b的事物的個數=na+nb－nab。
【典型例題】
【例1】乙個旅行社，每人至少會一種外語，其中會英語的有24人，會俄語的有18人，兩種都會的有4人，旅行社總共有多少人？
【試一試】
1、四（2）班檢查作業時，每人至少完成一門作業，其中做完語文的有35人，做完數學的有40人，兩種都完成的有25人。四（2）班總共有多少人？
2、某班上體育課，全班排成4行（每行人數相等），小芳排的位置是：從前面數第6個，從後面數第7個，這個班共有多少名學生？
【例2】某班有44人，參加美術組的有30人，參加故事組的有25人，每人至少參加乙個小組，這個班兩個興趣小組都參加的有多少人？
【試一試】
1、在一次數學測試中，所有同學都答了第1、2題，其中答對第1題的有35人，這兩題都答對的有20人，沒有人兩題都答錯。一共有50人參加了這次測驗，問答對第2題的有多少人？
2、博達一天中，四、六年級有95人參加學習，上午學習的有45人，上午和下午都學習的有24人，下午有多少人在博達學習？
【例3】乙個班有48人,班主任在班會上問:「誰做完語文作業?請舉手!
」有37人舉手.又問:「誰做完數學作業?
請舉手!」有42人舉手.最後問:
「誰語文、數學作業沒有做完?」沒有人舉手.求這個班語文、數學作業都完成的人數。
【試一試】
1、五年級有122名學生參加語文、數學考試,每人至少有一門功課取得優秀成績.其中語文成績優秀的有65人,數學優秀的有87人。語文、數學都優秀的有多少人?
2、四年級一班有54人,訂閱《小學生優秀作文》和《數學大世界》兩種讀物的有13人,訂《小學生優秀作文》的有45人,每人至少訂一種讀物,訂《數學大世界》的有多少人?
【例4】某班有36個同學在一項測試中,答對第一題的有25人,答對第二題的人有23人,兩題都答對的有15人。問有多少個同學兩題都沒答對?
【試一試】
1、五(1)班有40個學生,其中有25人參加數學小組,23人參加科技小組,有19人兩個小組都參加了。那麼,有多少人兩個小組都沒有參加?
2、乙個班有55名學生,訂閱《小學生數學報》的有32人,訂閱《中國少年報》的有29人,兩種報紙都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人?
【例5】某班有56人,參加語文競賽的有28人,參加數學競賽的有27人,如果兩科都沒有參加的有25人,那麼同時參加語文、數學兩科競賽的有多少人?
【試一試】
1、乙個旅行社有36人,其中會英語的有24人,會法語的有18人,兩樣都不會的有4人,兩樣都會的有多少人?
2023年春季四年級奧數培訓教材
第一章組合與推理 第一講邏輯推理 第二講容斥問題 第二章數與計算 一 第一講速算與巧算 一 第二講速算與巧算 二 單元練習 一 第三章實踐與應用 一 第一講應用題 二 第二講平均數問題 第三講差倍問題 第四講和差問題 第五講巧算年齡 第六講假設法解題 第七講盈虧問題 第八講還原問題 單元練習 二 第...
2023年春季四年級奧數培訓教材階段
四年級奧數階段測試b1 姓名成績 1 下面三塊正方體的六個面都是按相同的規律塗有紅黃藍綠白黑六種色。請判斷黃色的對面是什麼顏色？白色的對面是什麼顏色？紅色的對面是什麼顏色？abc 2 科技節那天,學校的科技室裡展出了每個年級學生的科技作品,其中有110件不是一年級的,有100件不是二年級的,一 二年...
五年級奧數培訓教材
第一章數與計算 第一講估值問題 第二章趣題與智巧 第一講算式謎 第三章實踐與應用 一 第一講行程問題 一 第二講行程問題 二 第三講行程問題 三 第四講行程問題 四 第四章數論與整除 第一講數字趣題 第二講分解質因數 一 第三講分解質因數 二 第四講最大公因數 第五講最小公倍數 一 第六講最小公倍數...