高一物理相遇和追及問題含詳解

相遇和追及問題

【學習目標】

1、掌握追及和相遇問題的特點 2、能熟練解決追及和相遇問題

【要點梳理】

要點一、機動車的行駛安全問題：

要點詮釋：

1、反應時間：人從發現情況到採取相應措施經過的時間為反應時間。

2、反應距離：在反應時間內機動車仍然以原來的速度v勻速行駛的距離。

3、剎車距離：從剎車開始，到機動車完全停下來，做勻減速運動所通過的距離。

4、停車距離與安全距離：反應距離和剎車距離之和為停車距離。停車距離的長短由反應距離和剎車距離共同決定。安全距離大於一定情況下的停車距離。

要點二、追及與相遇問題的概述

要點詮釋：

1、追及與相遇問題的成因

當兩個物體在同一直線上運動時，由於兩物體的運動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發生變

化，兩物體間距越來越大或越來越小，這時就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題．

2、追及問題的兩類情況

(1)速度小者追速度大者

(2)速度大者追速度小者

說明:①表中的δx是開始追及以後,後面物體因速度大而比前面物體多運動的位移；②x0是開始追及以前兩物體之間的距離；③t2-t0=t0-t1；④v1是前面物體的速度,v2是後面物體的速度.

特點歸類：

(1)若後者能追上前者，則追上時，兩者處於同一位置，後者的速度一定不小於前者的速度．

(2)若後者追不上前者，則當後者的速度與前者相等時，兩者相距最近．

3、相遇問題的常見情況

(1) 同向運動的兩物體的相遇問題,即追及問題.

(2) 相向運動的物體,當各自移動的位移大小之和等於開始時兩物體的距離時相遇.

解此類問題首先應注意先畫示意圖,標明數值及物理量;然後注意當被追趕的物體做勻減速運動時,還要注意該物體是否停止運動了.

要點三、追及、相遇問題的解題思路

要點詮釋：

追及相遇問題最基本的特徵相同,都是在運動過程中兩物體處在同一位置.

①根據對兩物體運動過程的分析,畫出物體運動情況的示意草圖.

②根據兩物體的運動性質,分別列出兩個物體的位移方程,注意要將兩個物體運動時間的關係反映在方程中;

③根據運動草圖,結合實際運動情況,找出兩個物體的位移關係;

④將以上方程聯立為方程組求解,必要時,要對結果進行分析討論.

要點四、分析追及相遇問題應注意的兩個問題

要點詮釋：

分析這類問題應注意的兩個問題:

(1)乙個條件:即兩個物體的速度所滿足的臨界條件,例如兩個物體距離最大或距離最小後面的物體恰好追上前面的物體或恰好追不上前面的物體等情況下,速度所滿足的條件.

常見的情形有三種:一是做初速度為零的勻加速直線運動的物體甲,追趕同方向的做勻速直線運動的物體乙,這種情況一定能追上,在追上之前,兩物體的速度相等(即)時,兩者之間的距離最大;二是做勻速直線運動的物體甲,追趕同方向的做勻加速直線運動的物體乙,這種情況不一定能追上,若能追上,則在相遇位置滿足;若追不上,則兩者之間有個最小距離,當兩物體的速度相等時,距離最小;三是做勻減速直線運動的物體追趕做勻速直線運動的物體,情況和第二種情況相似.

(2)兩個關係:即兩個運動物體的時間關係和位移關係.其中通過畫草圖找到兩個物體位移之間的數值關係是解決問題的突破口.

要點五、追及、相遇問題的處理方法

方法一:臨界條件法(物理法):當追者與被追者到達同一位置,兩者速度相同,則恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的臨界條件)

方法二:判斷法(數學方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令兩者在t時相遇,則有,得到關於時間t的一元二次方程:

當時,兩者相撞或相遇兩次;當時,兩者恰好相遇或相撞;時,兩者不會相撞或相遇.

方法三:圖象法.利用速度時間影象可以直觀形象的描述兩物體的運動情況，通過分析影象，可以較方便的解決這類問題。

【典型例題】

型別一、機動車的行駛安全問題

例1、為了安全，在高速公路上行駛的汽車之間應保持必要的距離。已知某高速公路的最高限速為v=120km/h。假設前方車輛突然停止運動，後面汽車的司機從眼睛發現這一情況，經過大腦反應，指揮手、腳操縱汽車剎車，到汽車真正開始減速，所經歷的時間需要0.

50s（即反應時間），剎車時汽車所受阻力是車重的0.40倍，為了避免發生追尾事故，在該高速公路上行駛的汽車之間至少應保留多大的距離？

【思路點撥】理解各個時間段汽車的運動情況是關鍵。

【答案】156m

【解析】

勻減速過程的加速度大小為。勻速階段的位移,

減速階段的位移，所以兩車至少相距。

【點評】剎車問題實際上是勻變速直線運動的有關規律在減速情況下的具體應用，要解決此類問題，首先要搞清楚在反應時間裡汽車仍然做勻速直線；其次也要清楚汽車做減速運動，加速度為負值；最後要注意單位統一。

舉一反三

【變式】酒後駕車嚴重威脅交通安全．其主要原因是飲酒會使人的反應時間(從發現情況到實施操作制動的時間)變長，造成制動距離(從發現情況到汽車停止的距離)變長，假定汽車以108 km/h的速度勻速行駛，剎車時汽車的加速度大小為8 m/s2，正常人的反應時間為0.5 s，飲酒人的反應時間為1.5 s，試問：

(1)駕駛員飲酒後的反制距離比正常時多幾公尺？

(2)飲酒的駕駛員從發現情況到汽車停止需多少時間？

【答案】　(1)30 m　(2)5.25 s

【解析】　(1)汽車勻速行駛v＝108 km/h＝30 m/s

正常情況下剎車與飲酒後剎車，從剎車到車停止這段時間的運動是一樣的，設飲酒後的剎車距離比正常時多δs，反應時間分別為則代入資料得

(2)飲酒的駕駛員從實施操作制動到汽車停止所用時間解得

所以飲酒的駕駛員從發現情況到汽車停止所需時間解得

型別二、追及問題一：速度小者追趕同向速度大者

例2、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從後邊超過汽車。試求：（1）汽車從路口開動後，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？

此時距離是多少？

【思路點撥】畫好汽車和自行車的運動示意圖是關鍵。

【答案】2s 6m

【解析】：

方法一：臨界狀態法

汽車在追擊自行車的過程中，由於汽車的速度小於自行車的速度，汽車與自行車之間的距離越來越大；當汽車的速度大於自行車的速度以後，汽車與自行車之間的距離便開始縮小。很顯然，當汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。設經時間t兩車之間的距離最大。

則∴方法二：圖象法

在同乙個v-t圖象中畫出自行車和汽車的速度-時間圖線，如圖所示。其中ⅰ表示自行車的速度圖線，ⅱ表示汽車的速度圖線，自行車的位移等於圖線ⅰ與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移則等於圖線ⅱ與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等於圖中矩形的面積與三角形面積的差，不難看出，當t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。

此時，，

方法三：二次函式極值法

設經過時間t汽車和自行車之間的距離，則

當時兩車之間的距離有最大值，且

【點評】(1)在解決追及相遇類問題時，要緊抓「一圖三式」，即：過程示意圖，時間關係式、速度關係式和位移關係式，另外還要注意最後對解的討論分析．

(2)分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如「剛好」、「恰好」、「最多」、「至少」等，往往對應乙個臨界狀態，滿足相應的臨界條件．

(3)解題思路和方法

舉一反三

【變式1】小轎車在十字路口等綠燈亮後，以1m/s2的加速度啟動，恰在此時，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過，做同向勻速運動，問（1）小轎車追上大卡車時已通過多少路程？（2）兩車間的距離最大時為多少？

【答案】98m 24.5m

【變式2】甲、乙兩車同時從同一地點出發，向同一方向運動，其中甲以10 m/s的速度勻速行駛，乙以2 m/s2的加速度由靜止啟動，求：

(1)經多長時間乙車追上甲車？此時甲、乙兩車速度有何關係？

(2)追上前經多長時間兩者相距最遠？此時二者的速度有何關係？

【答案】(1)10 s　2倍　(2)5 s　相等

【解析】(1)乙車追上甲車時，二者位移相同，設甲車位移為x1，乙車位移為x2，則x1＝x2，即，解得，因此.

(2)設追上前二者之間的距離為，則

由數學知識知：當時，兩者相距最遠，此時.

型別三、追及問題二：速度大者減速追趕同向速度小者

例3、火車以速度勻速行駛，司機發現前方同軌道上相距s處有另一列火車沿同方向以速度（對地、且）做勻速運動，司機立即以加速度緊急剎車，要使兩車不相撞，應滿足什麼條件？

【思路點撥】理解兩車不相撞的臨界條件。

【答案】

【解析】方法一：設兩車恰好相撞(或不相撞)，所用時間為t，此時兩車速度相等

解之可得：即，當時，兩車不會相撞。

方法二：要使兩車不相撞，其位移關係應為：

對任一時間t，不等式都成立的條件為由此得

【點評】分析解決兩物體的追及、相遇類問題，應首先在理解題意的基礎上，認清兩物體在位移、速度、時間等方面的關聯，必要時須畫出運動關聯的示意圖。這類問題的特殊之處是常與極值條件或臨界條件相聯絡。分析解決這類問題的方法有多種，無論哪一種方法，分析臨界條件、解決相關的臨界條件方程或用數學方法找出相關的臨界值，是解決這類問題的關鍵和突破口。

舉一反三

【變式1】汽車正以10m/s的速度在平直公路上前進，突然發現正前方s 處有一輛自行車以4m/s的速度做同方向的勻速直線運動，汽車立即關閉油門做勻減速運動，加速度大小為6m/s2，若汽車恰好不碰上自行車，則s大小為多少？

【答案】3m

【變式2】甲乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動,t=0時刻同時經過公路旁的同乙個路標.在描述兩車運動的v-t圖中(如圖),直線ab分別描述了甲乙兩車在0~20 s的運動情況.關於兩車之間的位置關係,下列說法正確的是( )

a.在0~10 s內兩車逐漸靠近 b.在10~20 s內兩車逐漸遠離

c.在5~15 s內兩車的位移相等 d.在t=10 s時兩車在公路上相遇

【答案】c

【解析】由題圖知乙做勻減速運動,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0.5 m/s2;甲做勻速直線運動,速度v甲=5 m/s.當t=10 s時v甲=v乙,甲乙兩車距離最大,所以0~10 s內兩車越來越遠,10~15 s內兩車距離越來越小,t=20 s時,兩車距離為零,再次相遇.

故abd錯誤.因5~15 s時間內v甲=乙,所以兩車位移相等,故c正確.

型別四、相遇問題

例4、在某市區內，一輛小汽車在公路上以速度向東行駛，一位觀光遊客正由南向北從斑馬線上橫過馬路。汽車司機發現遊客途經d處時，經過0.7s作出反應緊急剎車，但仍將正步行至b處的遊客撞傷，該汽車最終在c處停下，如圖所示。

為了判斷汽車司機是否超速行駛以及遊客橫穿馬路的速度是否過快，**派一車胎磨損情況與肇事汽車相當的警車以法定最高速度行駛在同一馬路的同一地段，在肇事汽車的起始制動點a緊急剎車，經14.0ｍ後停下來。在事故現場測得＝17.

5ｍ，＝14.0ｍ，＝2.6ｍ．肇事汽車的剎車效能良好，問：

（1）該肇事汽車的初速度是多大? （2）遊客橫過馬路的速度是多大?

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