相遇和追及問題
【要點梳理】
要點一、機動車的行駛安全問題：
1、 反應時間：人從發現情況到採取相應措施經過的時間為反應時間。
2、 反應距離：在反應時間內機動車仍然以原來的速度v勻速行駛的距離。
3、 剎車距離：從剎車開始，到機動車完全停下來，做勻減速運動所通過的距離。
4、 停車距離與安全距離：反應距離和剎車距離之和為停車距離。停車距離的長短由反應距離和剎車距離共同決定。安全距離大於一定情況下的停車距離。
要點二、追及與相遇問題的概述
1、 追及問題的兩類情況
(1)速度小者追速度大者
(2)速度大者追速度小者
說明:①表中的δx是開始追及以後,後面物體因速度大而比前面物體多運動的位移；
②x0是開始追及以前兩物體之間的距離；
③t2-t0=t0-t1；
④v1是前面物體的速度,v2是後面物體的速度.
特點歸類：
(1)若後者能追上前者，則追上時，兩者處於同一位置，後者的速度一定不小於前者的速度．
(2)若後者追不上前者，則當後者的速度與前者相等時，兩者相距最近．
2、 相遇問題的常見情況
(1) 同向運動的兩物體的相遇問題,即追及問題.
(2) 相向運動的物體,當各自移動的位移大小之和等於開始時兩物體的距離時相遇.
解此類問題首先應注意先畫示意圖,標明數值及物理量;然後注意當被追趕的物體做勻減速運動時,還要注意該物體是否停止運動了.
【典型例題】
型別一、機動車的行駛安全問題
例1、為了安全，在高速公路上行駛的汽車之間應保持必要的距離。已知某高速公路的最高限速為v=120km/h。假設前方車輛突然停止運動，後面汽車的司機從眼睛發現這一情況，經過大腦反應，指揮手、腳操縱汽車剎車，到汽車真正開始減速，所經歷的時間需要0.
50s（即反應時間），剎車時汽車所受阻力是車重的0.40倍，為了避免發生追尾事故，在該高速公路上行駛的汽車之間至少應保留多大的距離？
【答案】156m
【解析】
勻減速過程的加速度大小為。勻速階段的位移,
減速階段的位移，所以兩車至少相距。
【點評】剎車問題實際上是勻變速直線運動的有關規律在減速情況下的具體應用，要解決此類問題，首先要搞清楚在反應時間裡汽車仍然做勻速直線；其次也要清楚汽車做減速運動，加速度為負值；最後要注意單位統一。
舉一反三
【變式】酒後駕車嚴重威脅交通安全．其主要原因是飲酒會使人的反應時間(從發現情況到實施操作制動的時間)變長，造成制動距離(從發現情況到汽車停止的距離)變長，假定汽車以108 km/h的速度勻速行駛，剎車時汽車的加速度大小為8 m/s2，正常人的反應時間為0.5 s，飲酒人的反應時間為1.5 s，試問：
(1)駕駛員飲酒後的反制距離比正常時多幾公尺？
(2)飲酒的駕駛員從發現情況到汽車停止需多少時間？
【答案】 (1)30 m (2)5.25 s
【解析】 (1)汽車勻速行駛v＝108 km/h＝30 m/s
正常情況下剎車與飲酒後剎車，從剎車到車停止這段時間的運動是一樣的，設飲酒後的剎車距離比正常時多δs，反應時間分別為則代入資料得
(2)飲酒的駕駛員從實施操作制動到汽車停止所用時間解得
所以飲酒的駕駛員從發現情況到汽車停止所需時間解得
型別二、追及問題一：速度小者追趕同向速度大者
例2、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從後邊超過汽車。試求：（1）汽車從路口開動後，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？
此時距離是多少？
【答案】2s 6m
【解析】：
方法一：臨界狀態法
汽車在追擊自行車的過程中，由於汽車的速度小於自行車的速度，汽車與自行車之間的距離越來越大；當汽車的速度大於自行車的速度以後，汽車與自行車之間的距離便開始縮小。很顯然，當汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。設經時間t兩車之間的距離最大。
則∴方法二：圖象法
在同乙個v-t圖象中畫出自行車和汽車的速度-時間圖線，如圖所示。其中ⅰ表示自行車的速度圖線，ⅱ表示汽車的速度圖線，自行車的位移等於圖線ⅰ與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移則等於圖線ⅱ與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等於圖中矩形的面積與三角形面積的差，不難看出，當t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。
此時，，
方法三：二次函式極值法
設經過時間t汽車和自行車之間的距離，則
當時兩車之間的距離有最大值，且
【點評】(1)在解決追及相遇類問題時，要緊抓「一圖三式」，即：過程示意圖，時間關係式、速度關係式和位移關係式，另外還要注意最後對解的討論分析．
(2)分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如「剛好」、「恰好」、「最多」、「至少」等，往往對應乙個臨界狀態，滿足相應的臨界條件．
(3)解題思路和方法
舉一反三
【變式1】小轎車在十字路口等綠燈亮後，以1m/s2的加速度啟動，恰在此時，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過，做同向勻速運動，問（1）小轎車追上大卡車時已通過多少路程？（2）兩車間的距離最大時為多少？
【答案】98m 24.5m
【變式2】甲、乙兩車同時從同一地點出發，向同一方向運動，其中甲以10 m/s的速度勻速行駛，乙以2 m/s2的加速度由靜止啟動，求：
(1)經多長時間乙車追上甲車？此時甲、乙兩車速度有何關係？
(2)追上前經多長時間兩者相距最遠？此時二者的速度有何關係？
【答案】(1)10 s 2倍 (2)5 s 相等
【解析】(1)乙車追上甲車時，二者位移相同，設甲車位移為x1，乙車位移為x2，則x1＝x2，即，解得，因此.
(2)設追上前二者之間的距離為，則
由數學知識知：當時，兩者相距最遠，此時.
型別三、追及問題二：速度大者減速追趕同向速度小者
例3、火車以速度勻速行駛，司機發現前方同軌道上相距s處有另一列火車沿同方向以速度（對地、且）做勻速運動，司機立即以加速度緊急剎車，要使兩車不相撞，應滿足什麼條件？
【答案】
【解析】方法一：設兩車恰好相撞(或不相撞)，所用時間為t，此時兩車速度相等
解之可得：即，當時，兩車不會相撞。
方法二：要使兩車不相撞，其位移關係應為：
對任一時間t，不等式都成立的條件為由此得
【點評】分析解決兩物體的追及、相遇類問題，應首先在理解題意的基礎上，認清兩物體在位移、速度、時間等方面的關聯，必要時須畫出運動關聯的示意圖。這類問題的特殊之處是常與極值條件或臨界條件相聯絡。分析解決這類問題的方法有多種，無論哪一種方法，分析臨界條件、解決相關的臨界條件方程或用數學方法找出相關的臨界值，是解決這類問題的關鍵和突破口。
舉一反三
【變式1】汽車正以10m/s的速度在平直公路上前進，突然發現正前方s 處有一輛自行車以4m/s的速度做同方向的勻速直線運動，汽車立即關閉油門做勻減速運動，加速度大小為6m/s2，若汽車恰好不碰上自行車，則s大小為多少？
【答案】3m
【變式2】甲乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動,t=0時刻同時經過公路旁的同乙個路標.在描述兩車運動的v-t圖中(如圖),直線ab分別描述了甲乙兩車在0~20 s的運動情況.關於兩車之間的位置關係,下列說法正確的是( )
a.在0~10 s內兩車逐漸靠近 b.在10~20 s內兩車逐漸遠離
c.在5~15 s內兩車的位移相等 d.在t=10 s時兩車在公路上相遇
【答案】c
【解析】由題圖知乙做勻減速運動,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0.5 m/s2;甲做勻速直線運動,速度v甲=5 m/s.當t=10 s時v甲=v乙,甲乙兩車距離最大,所以0~10 s內兩車越來越遠,10~15 s內兩車距離越來越小,t=20 s時,兩車距離為零,再次相遇.
故abd錯誤.因5~15 s時間內v甲=乙,所以兩車位移相等,故c正確.
型別四、相遇問題
例4、在某市區內，一輛小汽車在公路上以速度向東行駛，一位觀光遊客正由南向北從斑馬線上橫過馬路。汽車司機發現遊客途經d處時，經過0.7s作出反應緊急剎車，但仍將正步行至b處的遊客撞傷，該汽車最終在c處停下，如圖所示。
為了判斷汽車司機是否超速行駛以及遊客橫穿馬路的速度是否過快，**派一車胎磨損情況與肇事汽車相當的警車以法定最高速度行駛在同一馬路的同一地段，在肇事汽車的起始制動點a緊急剎車，經14.0ｍ後停下來。在事故現場測得＝17.
5ｍ，＝14.0ｍ，＝2.6ｍ．肇事汽車的剎車效能良好，問：
（1）該肇事汽車的初速度是多大? （2）遊客橫過馬路的速度是多大?
【答案】21m/s 1.53 m/s
【解析】（1）警車和肇事汽車剎車後均做勻減速運動，其加速度大小，
與車子的質量無關，可將警車和肇事汽車做勻減速運動的加速度a的大小視作相等。
對警車，有；對肇事汽車，有，則
，即，故＝21ｍ/ｓ。
（2）對肇事汽車，由得，
故肇事汽車至出事點b的速度為＝14.0ｍ/ｓ。
肇事汽車從剎車點到出事點的時間＝1ｓ，
又司機的反應時間t0＝0.7ｓ，故遊客橫過馬路的速度m/s≈1.53ｍ/ｓ。
【點評】研究物體的運動，首先要分析清楚物體的運動過程。特別是當物體有多個運動階段時，必須明確問題所研究的是運動的哪乙個階段。當問題涉及多個物體的運動時，應先分別獨立研究各個物體的運動，然後找出它們之間的聯絡。
舉一反三
【變式1】羚羊從靜止開始奔跑，經過50m的距離能加速到最大速度25m/s，並能維持一段較長的時間。獵豹從靜止開始奔跑，經過60m的距離能加速到最大速度30m/s，以後只能維持這速度4.0s。
設獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊後1.0s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段做勻加速運動，且均沿同一直線奔跑，求：
（1）獵豹要在從最大速度減速前追到羚羊，x值應在什麼範圍？
（2）獵豹要在其加速階段追到羚羊，x值應在什麼範圍？
【答案】(1） 31.875m≤ x ≤ 55m （2）x ≤ 31.875m
【變式2】一輛值勤的警車停在公路邊，當警員發現從他旁邊以10 m/s的速度勻速行駛的貨車嚴重超載時，決定前去追趕，經過5.5 s後警車發動起來，並以2.5 m/s2的加速度做勻加速運動，但警車的行駛速度必須控制在90 km/h以內．問：
(1)警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少？
(2)警車發動後要多長時間才能追上貨車？
【答案】(1)75 m (2)12 s
【變式3】甲乙兩車在一平直道路上同向運動,其v-t圖象如圖所示,圖中△opq和△oqt的面積分別為s1和s2(s2>s1).初始時,甲車在乙車前方s0處( )
高一物理相遇和追及問題 含詳解
相遇和追及問題 學習目標 1 掌握追及和相遇問題的特點 2 能熟練解決追及和相遇問題 要點梳理 要點一 機動車的行駛安全問題 要點詮釋 1 反應時間 人從發現情況到採取相應措施經過的時間為反應時間。2 反應距離 在反應時間內機動車仍然以原來的速度v勻速行駛的距離。3 剎車距離 從剎車開始，到機動車完...
高一物理追及問題詳解
追及問題的分析和解答 追及問題是運動學中較為綜合且有實踐意義的一類習題，它往往涉及兩個以上物體的運動過程，每個物體的運動規律又不盡相同.對此類問題的求解，除了要透徹理解基本物理概念，熟練運用運動學公式外，還應仔細審題，挖掘題文中隱含著的重要條件，並盡可能地畫出草圖以幫助分析，確認兩個物體運動的位移關...
多次相遇和追及問題詳解
這就知道，爸爸騎電單車的速度是小明騎自行車速度的 12 4 3 倍 按照這個倍數計算，小明騎8千公尺，爸爸可以騎行8 3 24 千公尺 但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4 12 16 千公尺 少騎行24 16 8 千公尺 電單車的速度是8 8 1 千公尺 分 爸爸騎行16千公尺需要16分鐘.8 8...