集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現代數學的乙個重要基礎．一方面，許多重要的數學分支，如數理邏輯、近世代數、實變函式、泛函分析、概率統計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎上．另一方面，集合論及其反映的數學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用．在小學和初中數學中，學生已經接觸過集合，對於諸如數集（整數的集合、有理數的集合）、點集（直線、圓）等，有了一定的感性認識．這節內容是初中有關內容的深化和延伸．首先通過例項引出集合與集合元素的概念，然後通過例項加深對集合與集合元素的理解，最後介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合．
1. 初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數集及其記法．
2. 初步了解「屬於」關係的意義，理解集合中元素的性質．
3. 掌握集合的表示法，通過把文字語言轉化為符號語言（集合語言），培養學生的理解、化歸、表達和處理問題的能力．
這節內容學生已在小學、初中有了一定的了解，這裡主要根據例項引出概念．介紹集合的概念採用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學生容易接受．在引出概念時，從例項入手，由具體到抽象，由淺入深，便於學生理解，緊接著再通過例項理解概念．集合的表示方法也是通過例項加以說明，化難為易，便於學生掌握．
1. 在初中，我們學過哪些集合？
2. 在初中，我們用集合描述過什麼？
學生討論得出：
在初中代數裡學習數的分類時，學過「正數的集合」，「負數的集合」；在學習一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集．
在初中幾何裡學習圓時，說圓是到定點的距離等於定長的點的集合．幾何圖形都可以看成點的集合．
3. 「集合」一詞與我們日常生活中的哪些詞語的意義相近？
學生討論得出：
「全體」、「一類」、「一群」、「所有」、「整體」，……
4. 請寫出「小於10」的所有自然數．
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構成乙個集合．
5. 什麼是集合？
1. 集合的概念（先具體舉例，然後進行描述性定義）
（1）某種指定的物件集在一起就成為乙個集合，簡稱集．
（2）集合中的每個物件叫作這個集合的元素．
（3）集合中的元素與集合的關係：
a是集合a中的元素，稱a屬於集合a，記作a∈a；
a不是集合a中的元素，稱a不屬於集合a，記作aa．
例：設b＝｛1，2，3｝，則1∈b，4b．
2. 集合中的元素具備的性質
（1）確定性：集合中的元素是確定的，即給定乙個集合，任何乙個物件是否屬於這個集合的元素也就確定了．如上例，給出集合b，4不是集合的元素是可以確定的．
（2）互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重複的．
例：若集合a＝｛a，b｝，則a與b是不同的兩個元素．
（3）無序性：集合中的元素無順序．
例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合．
3. 常用的數集及其記法
全體非負整數的集合簡稱非負整數集（或自然數集），記作n．
非負整數集內排除0的集合簡稱正整數集，記作n*或n+；
全體整數的集合簡稱整數集，記作z；
全體有理數的集合簡稱有理數集，記作q；
全體實數的集合簡稱實數集，記作r．
4. 集合的表示方法
［問題］
如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？
（1）列舉法
列舉法是把集合中的元素一一枚舉出來的方法．
例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝．
（2）描述法
描述法是用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法．
例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝．
②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝．
③venn圖法
例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為（1，2）．
5. 集合的分類
（1）有限集：含有有限個元素的集合．例如，a＝｛1，2｝．
（2）無限集：含有無限個元素的集合．例如，n．
（3）空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈r｝＝．
注：對於無限集，不宜採用列舉法．
［例題］
1. 用適當的方法表示下列集合．
（1）由1，2，3這三個數字抽出一部分或全部數字（沒有重複）所組成的一切自然數．
（2）平面內到乙個定點o的距離等於定長l（l＞0）的所有點p．
（3）在平面a內，線段ab的垂直平分線．
（4）不等式2x－8＜2的解集．
2. 用不同的方法表示下列集合．
（1）｛2，4，6，8｝．
（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．
（3）｛x∈n｜3＜x＜7｝．
3. 已知a＝｛x∈n｜66－x∈n｝．試用列舉法表示集合a．
（a＝｛0，3，5｝）
4. 用描述法表示在平面直角座標中第一象限內的點的座標的集合．
［練習］
1. 用適當的方法表示下列集合．
（1）構成英語單詞mathematics（數字）的全體字母．
（2）在自然集內，小於1000的奇數構成的集合．
（3）矩形構成的集合．
2. 用描述法表示下列集合．
（1）｛3，9，27，81，…｝．
（2）把下列集合「翻譯」成數學文字語言來敘述．
（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈r｝．
（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈r｝．
（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈r｝．
（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈n*｝．
這篇案例注重新、舊知識的聯絡與過渡，以舊引新，從學生的原有知識、經驗出發，創設問題情境；從例項引出集合的概念，再結合例項讓學生進一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重例項的使用是這篇案例的突出特點．這樣做，通俗易懂，使學生便於學習和掌握．例題、練習由淺入深，對培養學生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重數學語言的轉化和訓練，注重區分形似而質異的數學問題，加強了學生對數學概念的理解和認識．
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