能帶理論是一種近似的理論，在固體中存在大量的電子，它們的運動是相互聯絡著的，每個電子的運動都要受到其它電子運動的牽連。這種多電子系統嚴格的解顯然是不可能的。能帶理論是單電子近似的理論，就是把每個電子的運動看成是獨立的在乙個等效勢場中的運動。
能帶理論的出發點是固體中的電子不再束縛於個別的原子，而是在整個固體內運動，稱為共有化電子。在討論共有化電子的運動狀態時假定原子實處在平衡位置，而把原子實偏離平衡位置的影響看成微擾，對於理想晶體，原子規則排列成晶格，晶格具有週期性，因而等效勢場也具有週期性，晶體中的的電子就是在乙個具有晶格週期性的等效勢場中運動，其波動方程為：
也有：為任意晶格向量。
在研究能帶理論時，我們往往通過近似模型的轉化，將相關問題簡單化。通過假定體積為v=，有n個帶正電荷ze的例子是，結合系統哈密頓量和體系中的薛丁格方程，首先應用絕熱近似的觀點將系統哈密頓量簡化，實現多粒子問題到多電子問題的轉化，再通過單電子近似即用分離變數法對單個電子獨立求解得單電子所受勢場為：
從而實現了多電子問題到單電子問題的轉化，最後假定電子所受到的勢場具有平移對稱性即存在週期場近似，則把能帶理論順利轉化為週期性場中的單電子近似問題了。
一、 布洛赫定理
布洛赫定理指出，當勢場具有晶格週期性時，波動方程的解具有以下性質：
上式就是布洛赫定理。根據該定理得到波函式：即布洛赫函式。bloch 發現，不管周
期勢場的具體函式形式如何，在週期勢場中運動的單電子的波函式不再是平面波，而是調幅平面波，其振幅也不再是常數，而是按晶體的週期而週期變化。具體波**像如下所示：
二、 近自由電子模型
在週期場中，若電子的勢能隨位置的變化（起伏）比較小，而電子的平均動能要比其勢能的絕對值大得多時，電子的運動就幾乎是自由的。因此，我們可以把自由電子看成是它的零級近似，而將週期場的影響看成小的微擾來求解。
近自由電子（nfe）模型的定性描述：在nfe 模型中，是以勢場嚴格為零的 schrdinger方程的解（即電子完全是自由的）為出發點的，但必須同時滿足晶體平移對稱性的要求，我們稱之為空格子模型。在一維情況下，空格子模型中的態函式和能量表示式為：
上式中的 0 表示是未受微擾的解。自由電子的能量和波矢關係是拋物線，但考慮到平移對稱性的要求，它被 brillouin 區邊界截成多段，可以平移倒易
基矢的整數倍，以便讓任意兩個等效點的能量相同。
當考慮微弱的週期勢場影響時，空格子能譜的明顯變化只發生在 brillouin區區心和邊界處，原先相互連線的，現在分開了，出現了乙個能隙，也就是說，在這些點上，能譜的形狀受到弱晶體勢場的修正。即近自由電子近似下晶體電子的能級區分成為電子可以佔據的能帶以及不能佔據的禁帶。
弱週期勢場對能帶的影響：
由於週期場的微擾，e(k)函式將在布里淵區邊界處出現不連續，能量的突變為：
這個能量突變稱為能隙，即禁帶寬度，這是週期場作用的結果。
總結：該模型假設晶體勢很弱，晶體電子的行為很像是自由電子，我們可以在自由電子模型結果的基礎上用微擾方法去處理勢場的影響，這種模型得到的結果可以作為簡單金屬（如：na,k,al）價帶的粗略近似。
對比教材p167圖4-5、p163圖4-2、p166
三、 緊束縛近似
將孤立原子看成零級近似，而將其他原子勢場的影響看成小的微擾，由此可以給出電子的原子能級和晶體能帶之間的相互聯絡，這種方法稱為緊束縛近似。
該模型主要適合於晶體中原子間距較大時，或能帶低而窄、殼層半徑比晶格常數小得多的情況，這時的原子軌道只受到其它原子很微弱的作用。
所有原子的電子波函式的線性組合來表示，即：
式中是晶體中第 m 個原子的位矢，
是將該原子視為孤立原子時自由原子波函式。它應該滿足如下方程：
其中是第m個原子勢， 是與本徵態相對應
的本徵能量（能級）。該式完全忽略了其它原子的影響。
總結：該模型假定原子勢很強，晶體電子基本上是圍繞著乙個固定原子運動，與相鄰原子存在的很弱的相互作用可以當作微擾處理，所得結果可以作為固體中狹窄的內殼層能帶的粗略近似，例如，過渡金屬的3d能帶。
參考教材：p193 4-60、p191、p197 圖4-28
四、 費密面、能態密度和能帶的特點
（1） 費密面
性質： ①絕對零度下費公尺面是未填滿電子軌道和被填滿電子軌道的分介面，費公尺面及其之下的能級全部佔滿電子，之上的能級全部沒有佔據電子；
②晶體的性質主要由費公尺面的體積和形狀決定；
③只有費公尺面附近的電子才有可能參與各種過程。
晶體費公尺面的構造步驟：
根據晶體結構畫出倒易空間中擴充套件的布里淵區圖形；
按自由電子模型由電子濃度求出相應的費公尺半徑，並作出費公尺球；
將處在各個布里淵區中的費公尺球（園）分塊按倒格矢平移到簡約區中，來自第 n個布里淵區的對應於第 n個能帶，於是在簡約區中得到對應於各個能帶的費公尺面圖形；
按照近自由電子作必要的修正。
修正為近自由電子模型費公尺面的依據：
電子的能量只在布里淵區邊界附近偏離自由電子能量，
在布里淵區邊界產生能隙。等能面在布里淵區邊界面附近發生畸變，形成向外突出的凸包；
等能面幾乎總是與布里淵區邊界面垂直相交；
費公尺面所包圍的總體積僅依賴於電子濃度，而不取決
於電子與晶格相互作用的細節；
週期場的影響使費公尺面上的尖銳角圓滑化。
（2） 能態密度: 單位能量間隔內的電子狀態數
1. 近自由電子的能態密度
2. 緊束縛近似的能態密度
（3） 能帶:布里淵區與能帶、原子能級與能帶間的對應、能帶結構的計算、
晶體能帶的對稱性。
理論課程教學大綱編寫規範
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