第二講多元線性回歸模型檢驗
（inference in multiple linear regression model）
本講的前兩部分**總體回歸模型中單個引數以及多個引數的統計推斷問題，進一步考察回歸模型的解釋作用。假設檢驗，即取定樣本估計出，由此對總體引數作出一些推斷，或者對總體回歸模型做出一些推斷。我們首先提出所要檢驗的假設，然後找到相應的檢驗統計量及其分布規律，最後利用樣本計算出檢驗統計量的值，並給出判斷。
有時候，需要檢驗若干引數之間是否存在特定的關係，或者需要檢驗模型的引數是否同時滿足幾個約束條件，這就是一般的假設檢驗問題。一般假設檢驗在計量經濟實踐中應用很廣。本講只介紹有限樣本理論中的一般線性假設檢驗及其應用。
值得一提的是，在經濟學的經驗分析中，我們常常通過從現實中所觀察到的資料，來驗證理論模型所得到的可檢驗的假說。這些假說，作為理論模型的結論，往往闡述的是各個經濟變數的關係，這些關係又通過某些引數的大小、符號以及它們之間的函式關係得以表述。因此，對這些引數的假設檢驗是計量經濟學家們進行經濟學經驗分析的一項重要內容，而一般線性假設檢驗又是其中最常用的手段。
1單引數顯著性檢驗
單引數顯著性的檢驗，就是檢驗某乙個解釋變數的總體回歸係數是否顯著等於零。
1.1檢驗假設
在這個檢驗中，我們提出的零假設為；備擇假設為。
如果檢驗結果拒絕，就稱顯著（顯著異於0），即控制住其他變數後，對具有顯著影響，表明應當引入模型。
如果檢驗結果不能拒絕，就稱不顯著（不顯著異於0），即控制住其他變數後，對的影響顯著，表明引入模型不是必須。
1.2檢驗統計量
在這個檢驗中，採用統計量進行檢驗，因此單引數顯著性檢驗有時也被稱為單引數檢驗。定義統計量
～ （1）
其中當為真時，即，檢驗統計量為
～ （2）
下面證明這一結論。
證明（1）因為～
所以～第二講中，已經知道～。
（2）下面將證明，相互獨立：
因為所以
其中，即當給定時，是的齊次線性函式。是對應上述向量的第個分量。
，其中為對稱冪等矩陣，是的二次型。
再由於，所以，相互獨立（若二次型，齊次線性函式中的～，為對稱冪等矩陣，且，則與相互獨立）。
（3）綜合以上的結果就有～而
所以～1.3檢驗推斷
當根據樣本計算出統計量的值之後，可以通過與臨界值或者值作比較，作出檢驗結論，即拒絕還是不能拒絕零假設。
（1）臨界值比較
已知，給定顯著性水平（一般取1%，5%，10%），可查表求出分布臨界值。判斷規則為：
若，則拒絕；
若，則不能拒絕。
（2）值比較
當計算出之後，將其作為臨界值，計算該檢驗相應顯著性水平，這就是對應的概率值：
。判斷規則為：
若，則拒絕；
若，則不能拒絕。
2回歸模型的顯著性檢驗
對回歸模型中顯著性進行檢驗，就是檢驗回歸方程對是否有解釋作用。如果回歸方程中至少有乙個解釋變數對有解釋作用，就認為該模型是顯著的。
2.1檢驗假設
至少有乙個
零假設由個等式構成，因此這是乙個聯合檢驗。
如果檢驗結果拒絕，則至少有乙個是顯著的，這就表明聯合起來對影響顯著；如果檢驗結果不能拒絕，則均不顯著，這就表明聯合起來對影響不顯著。
2.2檢驗統計量
採用統計量進行檢驗：
， （3）
當為真時，上述檢驗統計量服從分布。
注意，上述第二個等式，在模型中含截距項時才成立。
2.3判斷
在進行檢驗時，也可以用兩種方式來判斷，一是根據臨界值，二是根據值。
（1）臨界值
給定顯著性水平（一般取1%，5%，10%），可查表求出分布臨界值。判斷規則為：
若，則拒絕；若，則不能拒絕。
（2）值比較
計算出檢驗統計量值之後，可求出對應的概率值：
在這裡，值為右側尾部的概率值。
判斷規則為：，則拒絕，否則不能拒絕。
3線性約束估計
3.1問題的提出
有時，經濟理論對回歸模型的總體引數施加了某些線性約束，人們需要在滿足這些約束條件的前提下估計模型，這就是線性約束估計問題。
以c-d生產函式為例：
其中表示產量，表示資本，表示勞動力，為引數。
如果引數滿足約束條件，我們就稱為規模報酬不變。顯然，如果認為經濟應當具有不變的規模報酬，在估計模型時就應當將該約束條件考慮進去。
再看需求函式：
其中表示商品需求量，表示商品**，替代品**，表示收入，為引數。如果認為消費者沒有貨幣幻覺，即消費者的需求取決於實際**和實際收入水平，模型引數就應當滿足約束條件：
所謂線性約束估計就是在引數滿足給定線性約束下，估計總體回歸模型，該問題可以一般化地表示為：
（4）其中為階矩陣，，為維列向量，已知，即共有個線性約束方程。
以表示上述模型中引數的估計值，稱為線性約束估計量，有：
（5）仍然以來表示引數的無約束估計量，相應的樣本回歸模型為
一般來說，應當首先檢驗線性約束假設是否成立，在不能拒絕線性約束假設的情況下才進行線性約束估計。
3.2線性約束估計
（1）原理
對樣本回歸模型：
（6）估計的原理就是以為決策變數求解條件極小值問題：
（7）其中。所以
（8）可以採用兩種方法來求解條件極值問題：一是轉化為無條件極值問題，或稱轉化為無約束估計問題；二是用拉格朗日乘數法直接求解。
（2）轉化為無約束估計
步驟：由於，所以中至少有個列向量線性無關。我們從約束條件解出個引數（），並將它們用其餘個引數表示。
將重新排列，使中前列線性無關，這樣就可以將約束方程寫為
進而有將的表示式代入原樣本回歸模型：
，這樣就得到了乙個新的無約束模型，它只含個引數：
，簡記為
採用ols方法估計該模型，可得到估計量（個引數）。
最後，將估計結果代會至約束條件，可求出其餘個引數。
舉例說明：
以下面的模型為例：
其中為投資，為時間，為名義利率，為通貨膨脹率，引數個數。
假設對引數施加兩個約束（）：
，表明投資具有線性趨勢，且斜率=0.5；
，表明投資與實際利率有關。
樣本回歸模型為
，對應的引數約束為
估計步驟如下：
由引數約束條件，求解出個引數，將其用個引數表示：
代入樣本回歸模型得
，故原模型可轉化為如下的無約束模型：
採用ols法可得到引數估計值。
原模型的另兩個引數估計值為
（3）拉格朗日乘數法
首先構造拉格朗日函式：
9）其中拉格朗日乘子為
10）一階條件為：
11)可用兩種方法來解方程組。
解法1代入法
因可逆，所以由第乙個方程可得
代入第二個方程，得
故再回代至的表示式得
解法2分塊矩陣求逆
將正規方程組用矩陣形式表示為：
簡記為。
若存在，則。根據分塊矩陣求逆公式可知
其中這樣就有
，注意：
運用拉格朗日乘數法能夠得到約束估計量的表示式，在理論推導中很有用，而化為無約束估計方法則更便於實際操作。
如果無約束模型的ols估計量滿足約束條件，即，則必有
從約束估計量的表示式可以看出，等於無約束估計量加上乙個修正項，其中的修正項代表無約束解相對於約束條件的偏離。
4線性約束假設檢驗
對於線性回歸模型：
其中為維列向量。假設受到個線性約束，那麼這些線性約束可以表示為下述一般形式：
這裡為階矩陣，，為維列向量，已知。
對此，我們可以採用統一的方法來檢驗這種線性約束是否成立。
4.1檢驗假設
（1）典型情況
首先考察幾種典型情況，說明如何將檢驗假設表示為這種一般形式。
單引數顯著性檢驗
對於單引數假設檢驗問題：
只要記，為階矩陣，其中第個元素為1，其餘元素為0，同時記，就可以將零假設改寫為：
顯然，，即零假設只含有乙個約束方程。
回歸方程的聯合顯著性檢驗
零假設為
若記其中為階矩陣，為維列向量
現在，零假設就可以改寫為
顯然，，即零假設包含個約束方程。
引數子集的顯著性檢驗
對於零假設：
若記其中為階矩陣，為維列向量。
現在，零假設可改寫為：
顯然，，即零假設包含個約束方程。
例項考慮下面的投資模型：
其中為投資，為時間，為名義利率，為通貨膨脹率。
現在需要檢驗如下線性假設：
其中，表示無時間趨勢，表示邊際投資傾向等於1，表示投資者真正關係的是實際利率而非名義利率。
若記則零假設可改寫為
顯然，，即零假設包含3個約束方程。
（2）一般線形約束
由上面的分析可以看出，對於引數的任何形式的線性約束假設，都可以表示為一般形式：
為階矩陣，，為維列向量。線性約束個數為。
4.2檢驗統計量
在有限樣本理論中，線性假設的檢驗統計量為檢驗統計量。
（1）理論表示式
～在零假設成立的情況下，檢驗統計量為
（2）實際操作表示式
實際操作時可根據下式進行計算：
其中，表示受約束回歸得到的殘差，表示無約束回歸得到的殘差，且有，即受約束模型中的殘差平方和要大於無約束模型中的殘差平方和。
由表示式可知實際檢驗的步驟為：
首先，作無約束回歸，得到殘差平方和。
其次，作有約束回歸，得到殘差平方和。
然後，計算值。
最後，進行推斷，給定顯著性水平，找出臨界值
若，則拒絕，認為引數不滿足約束條件；
若，則不拒絕，不能認為引數不滿足約束條件。
（3）實際操作表示式——齊次約束
如果引數滿足齊次約束方程，即或，此時約束估計的被解釋變數與無約束估計的被解釋變數相同，檢驗統計量還可變形為：
其中，為約束估計的可決係數，為無約束的可決係數。
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