菱形的性質與判定
知識歸納
1．菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
2．菱形的性質
菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質：
① 邊的性質：對邊平行且四邊相等．
② 角的性質：鄰角互補，對角相等．
③ 對角線性質：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角．
④ 對稱性：菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
菱形的面積等於底乘以高，等於對角線乘積的一半．
點評：其實只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等於對角線乘積的一半．
3．菱形的判定
判定①：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
判定②：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
判定③：四邊相等的四邊形是菱形．
例題講解
例1：已知，菱形中，、分別是、上的點，若，求的度數．
例2：如圖2所示，在菱形abcd中，對角線ac=10，bd=24，ae⊥bc於e，則ae的長是（ ）
a． d．8
例3：如圖，是菱形的邊的中點，於，交的延長線於，交於，證明：與互相平分．
例4：如圖3，在菱形中，，、分別是邊和的中點，於點，則（ ）
a． bc． d．
例5：已知等腰中，，平分交於點，**段上任取一點（點除外），過點作，分別交、於、點，作，交於點，鏈結.
⑴求證四邊形為菱形
⑵當點在何處時，菱形的面積為四邊形面積的一半？
課堂練習
1. 已知菱形的兩條對角線的乘積等於菱形的一條邊長的平方，則菱形的乙個鈍角的大小是
2. 依次鏈結菱形四條邊的中點所構成的四邊形是（ ）
a．菱形 b．矩形 c．一般平行四邊形 d．一般四邊形
3. 菱形周長為，一條對角線長為，則其面積為 ．
4. 已知菱形的乙個內角為，一條對角線的長為，則另一條對角線的長為________．
5. 菱形abcd的對角線交於o，ao=1，且∠abc∶∠bad=1∶2，∠abo=300，則下列結論：①．∠abc=600；②．ac=2；③．bd=4；④．sabcd=2；⑤菱形abcd的周長是8，其中正確的有（ ）
a．①②③④⑤ b．①②④⑤ c．②③④⑤ d．①②③⑤
6. 已知，菱形中，、分別是、上的點，且，．求：的度數．
7. 如圖所示，在菱形abcd中，be⊥ad，bf⊥cd，e，f為垂足，ae=ed，求∠ebf的度數．
8. 如圖3所示，在菱形abcd中，ab=2，∠bad=60°，e是ab的中點，p是對角線ac上的乙個動點，則pe+pb的最小值是________．
9. 如圖所示，在菱形abcd中，已知e是bc上一點，且ae=ab，∠ead=2∠bae，
求證：be=af．
10. 如圖，在中，，是的中點，鏈結，在的延長線上取一點，鏈結，．當與滿足什麼數量關係時，四邊形是菱形？並說明理由．
11. 如圖，中，，是的平分線，交於，是邊上的高，交於，於，求證：四邊形是菱形．
12. 如圖，是矩形內的任意一點，將沿方向平移，使與重合，點移動到點的位置
⑴畫出平移後的三角形；
⑵鏈結，試說明四邊形的對角線互相垂直，且長度分別等於的長；
⑶當在矩形內的什麼位置時，在上述變換下，四邊形是菱形？為什麼？
課下練習
1. 如圖，e是菱形abcd邊ad的中點，ef⊥ac於點h，交cb延長線於點f，交ab於點g，求證：ab與ef互相平分。
2. 如圖，菱形abcd中，e、f分別為bc、cd上的點，且∠b＝∠eaf＝60°，若∠bae＝20°，求∠cef的度數。
3. 如圖，ad是△abc的角平分線，ad的垂直平分線交ab於點e，交ac於點f，求證：四邊形aedf是菱形。
4. 如圖，在中，bc＝2ab，ae＝ab＝bf，且點e、f在直線ab上，
求證：ce⊥df。
5. 如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，∠bac＝60°，de垂直平分bc，垂足為d，交ab於點e，又點f在de的延長線上，且af＝ce，求證：四邊形acef是菱形。
6. 菱形兩鄰角的比為1∶2，邊長為2，求該菱形的面積。
7. 如圖，過的對角線交點o，作互相垂直的兩條直線eg、fh與各邊分別相交於點e、f、g、h，求證：四邊形efgh是菱形。
8. 如圖，在菱形abcd中，e是ab中點，且de⊥ab，ab＝4，求：（1）∠abc的度數；（2）菱形abcd的面積。
9. 如圖，菱形abcd的邊長為4cm，且∠abc＝120°，e是bc的中點，在bd上求點p，使pc＋pe取最小值，並求這個最小值。
10. 如圖，在中，ab＝2bc，be⊥ad於e，f為cd中點，設∠def＝α，∠efc＝β，求證：β＝3α
11. 如圖，有一矩形紙片abcd，ab＝6，bc＝8，將紙片沿ef摺疊，使點b與d重合，求摺痕ef的長。
12. 如圖，四邊形abcd中，∠adc＝90°，ac＝cb，e、f分別是ac、ab的中點，且∠dea＝∠acb＝45°，bg⊥ae於g，求證：（1）四邊形afgd是菱形；（2）若ac＝bc＝10，求菱形的面積。
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