絕不同意為了成功而不擇手段，刻薄成家，理無久享.
西安鐵一中國際合作學校賀效東
二項式的展開式中
有兩種係數
分別是展開式中某項的二項式係數以及項的係數下面討論兩類常見問題的解法
問題1：的展開式中係數最大的項是第幾項？
這個問題我們一般這樣處理：設第項為所求
則根據得不等式組
再求解得出值
這樣做的確非常麻煩
那麼有沒有規律可循呢？下面
我們來順著這條思路找找
看看能否都得出一般性的結論
我們不妨研究一般的二項式
由通項公式得
則展開式中第項的係數的絕對值是
所以這一項的前後兩項的係數的絕對值分別是和於是我們得到
化簡得由①得由②得
憑這個式子就可以求出的值
注意到上式的結構
對其變形又可得到下式：
明顯適合③的值可以討論得出如下結論：
若則這樣的值為兩個連續的整數；
若則值應為的整數部分
可以用符號表示
當然這時只有乙個值
需要補充說明的一點是
在③式中
各字母一定要與中的字母相對應
否則得出的值就不是展開式中對應的項數
再回到上面的問題：展開式中最大項的項數
這裡我們只需計算出則所以
說明其展開式中係數最大項為第19項
再如求展開式中係數最大和最小的項分別是第幾項
由上面結論得：
於是我們知道展開式第20項和第21項係數的絕對值最大且相等但是第20項的係數為負
故其係數最小
問題2：求
這道題並不難做
在此不想把解法一一枚舉
我們只是想能否從此題的解法中找到一種"一勞永逸"的辦法還是從一般的解法入手
不妨變形：
設展開式中第r＋1項為tr+1
則 對於
設其展開式中第k+1項為
於是可以認為原式的通項為：
令並注意其條件
得：將值代入①
得到展開式中項的係數為：－40.
上面的解法有推廣的價值
如的展開式的通項為：
這樣求其中任何一項的係數都不會太困難
並且這種方法還可以推廣到n項展開式的問題
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