2010－2011學年度第一學期江蘇省南通市六所省重點高中聯考試卷
數學 ⅰ試題2011.1
3、方程的曲線是焦點在y軸上的雙曲線，則m的取值範圍是
答案：9、已知橢圓的中心為o，右焦點為f、右頂點為a，右準線與x軸的交點為h，
則的最大值為
13、設m1(0，0)，m2(1，0)，以m1為圓心，| m1 m2 | 為半徑作圓交x軸於點m3 (不同於m2)，記作⊙m1；以m2為圓心，| m2 m3 | 為半徑作圓交x軸於點m4 (不同於m3)，記作⊙m2；……；
以mn為圓心，| mn mn+1 | 為半徑作圓交x軸於點mn+2 (不同於mn+1)，記作⊙mn；……
當n∈n*時，過原點作傾斜角為30°的直線與⊙mn交於an，bn．考察下列論斷：
當n＝1時，| a1b1 |＝2；
當n＝2時，| a2b2 |＝；
當n＝3時，| a3b3 |＝；
當n＝4時，| a4b4 |＝；
……由以上論斷推測乙個一般的結論：對於n∈n*，| anbn
17、（本題滿分15分）已知圓，相互垂直的兩條直線、都過點.
（ⅰ）當時，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；
（ⅱ）當時，求、被圓所截得弦長之和的最大值，並求此時直線的方程.
解：（ⅰ）設圓的半徑為，易知圓心到點的距離為，
4分解得且∴圓的方程為…………………7分
（ⅱ）當時，設圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點分別為，弦長分別為，因為四邊形是矩形，所以,即
，化簡得10分
從而，等號成立，
時，，即、被圓所截得弦長之和的最大值為13分
此時，顯然直線的斜率存在，設直線的方程為：，則
，，∴直線的方程為：或15分
江蘇省2010高考數學模擬題(壓題卷)
8．已知f1、f2分別是橢圓，的左、右焦點，以原點o為圓心，of1為半徑的圓與橢圓在y軸左側交於a、b兩點，若△f2ab是等邊三角形，則橢圓的離心率等於．
三、解析幾何題
1．已知過點的動直線與圓相交於兩點，是中點，與直線相交於．
(1)求證：當與垂直時，必過圓心;
(2)當時，求直線的方程;
(3)探索是否與直線的傾斜角有關?若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．
解：(1)與垂直，且
故直線方程為即
圓心座標（0，3）滿足直線方程，
當與垂直時，必過圓心．
(2)①當直線與軸垂直時，易知符合題意．
②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為即，
，則由，得，
直線 故直線的方程為或
(3)①當與軸垂直時，易得則又，
．②當的斜率存在時，設直線的方程為
則由得則
綜上所述，與直線的斜率無關，且．
2．已知a、b是橢圓的左、右頂點，直線交橢圓於m、n兩點，經過a、m、n的圓的圓心為，經過b、m、n的圓的圓心為．
(1)求證為定值；
(2)求圓與圓的面積之和的取值範圍．
解：(1)由題設a（-2，0），b（2，0），
由解出．
設，由解出．
同理，解出， (定值)．
(2)兩圓半徑分別為及，
兩圓面積和，
所以s的取值範圍是．
3．已知圓，定點動圓過點，且與圓相內切．
(1)求點m的軌跡c的方程；
(2)若過原點的直線與（1）中的曲線c交於a，b兩點，且的面積為，
求直線的方程．
解：(1)設圓m的半徑為，
因為圓與圓內切，所以，
所以，即．
所以點m的軌跡c是以為焦點的橢圓，
設橢圓方程為，其中，所以．
所以曲線的方程．
(2)因為直線過橢圓的中心，由橢圓的對稱性可知，．
因為，所以．
不妨設點在軸上方，則，所以，
即：a點的座標為或，
所以直線的斜率為，故所求直線方程為．
4．已知圓c的圓心在拋物線上運動，且圓c過點，若mn為圓c在軸上截得的弦.
(1)求弦長；
(2)設，求的取值範圍．
解：(1)設，則圓c的方程為：
．[**:學科網]
令，並由，得，
解得從而，
(2) 設，
因為，所以，因為l12+l22-2 l1 l2cosθ=4p2 ，
所以l12+l22=.
所以．因為，所以當且僅當時，原式有最大值，當且僅當時，原式有最小值為2，從而的取值範圍為．
2011屆江蘇省蘇州市迎二模六校聯考數學試題
5.若雙曲線經過點(3,)，且漸近線方程是y=±x，則這條雙曲線的方程是
答案：10.若點p是曲線y=x2-lnx上的任意一點，則點p到直線y=x-2的最小距離為
答案：12. 若過點a(a,a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3=0的兩條切線，則實數a的取值範圍是
答案：18．(本小題滿分16分)已知圓c通過不同的三點p(m,0)、q(2,0)、r(0,1),且圓c在點p處的切線的斜率為1.
（1）試求圓c的方程；
（2）若點a、b是圓c上不同的兩點，且滿足=，
①試求直線ab的斜率；
②②若原點o在以ab為直徑的圓的內部，試求直線ab在y軸上的截距的範圍。
18.（1）設圓方程為，則圓心，且pc的斜率為-1……2分
所以5分
解得，所以圓方程為……………………7分
（2）=，
所以ab斜率為1…………………10分
設直線ab方程為，代入圓c方程得
設，則原點o在以ab為直徑的圓的內部，即………………14分
整理得，…………………16分
江蘇省淮州中學2010—2011學年度第一學期中考試
高三數學試卷
6． 若曲線在點p處的切線平行於直線3x－y＝0，則點p的座標為
答案：（1，0）
二、解答題
17．（本小題滿分15分）已知點p（1，3），圓c： 過點a（1，），f點為拋物線(p>0)的焦點，直線pf與圓相切.
（1）求m的值與拋物線的方程；
（2）設點，點 q為拋物線上的乙個動點，求的取值範圍．
解：（ⅰ）點a代入圓c方程，
得． ∴m＝1．
圓c：．
當直線pf的斜率不存在時不合題意。
當直線pf的斜率存在時，設為k，
則pf1：，
即．∵直線pf與圓c相切，
∴．解得．
當k＝時，直線pf1與x軸的交點橫座標為，不合題意，捨去．
當k＝時，直線pf1與x軸的交點橫座標為4，
那麼拋物線方程為2
（ⅱ），設q（x，y），，
所以的取值範圍為．
江蘇連雲港市2011屆高三上學期第一次調研考試（數學）數學ⅰ試題
10.雙曲線的兩條漸近線將平面劃分為「上、下、左、右」四個區域（不含邊界），若點在「上」區域內，則雙曲線離心率的取值範圍是 ▲ ．
答案：二、解答題
18.（本小題滿分16分）
如圖，橢圓過點，其左、右焦點分別為，離心率，是橢圓右準線上的兩個動點，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值；
（3）以為直徑的圓是否過定點？請證明你的結論．
解:（1），且過點，
解得橢圓方程為 .…………4分
設點則，
， 又，
的最小值為10分
圓心的座標為，半徑.
圓的方程為，
整理得：. …………16分
， 令，得，.
圓過定點.………………16分
21.（本小題滿分10分）
已知動圓過點且與直線相切.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）過點作一條直線交軌跡於兩點，軌跡在兩點處的切線相交於點，為線段的中點，求證：軸.
解：（1）根據拋物線的定義，可得動圓圓心的軌跡c的方程為…………4分
（2）證明：設的斜率分別為，
故的方程為，的方程為 …7分
即，兩式相減，得，又，
∴ 的橫座標相等，於是………………10分
江蘇省南通中學2010—2011學年度高三第一學期中考試數學
6． 若曲線在點p處的切線平行於直線3x－y＝0，則點p的座標為
答案：（1，0）
2011屆江蘇高考數學權威**題
7、若雙曲線的乙個焦點到一條漸近線的距離等於焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是
答案：10、兩圓和恰有三條共切線，則的最小值為 ▲ .
答案：1、
二、解答題
18、（16分）如圖，在平面直角座標系中，方程為的圓的內接四邊形的對角線和互相垂直，且和分別在軸和軸上 .
（1）求證：；
（2）若四邊形的面積為8，對角線的長為2，且，求的值；
（3）設四邊形的一條邊的中點為，且垂足為.試用平面解析幾何的研究方法判斷點、、是否共線，並說明理由.
解:（1）證法一：由題意，原點必定在圓內，
即點代入方程的左邊後的值小於0，於是有，即證4分
證法二：由題意，不難發現、兩點分別在軸正負半軸上. 設兩點座標分別為
， ，則有.
對於圓方程，當時，可得，其中方程的兩根分別為點和點的橫座標，於是有.
因為，故4分
（2）不難發現，對角線互相垂直的四邊形面積，因為，，可得6分
又因為，所以為直角，而因為四邊形是圓的內接四邊形，故8分
對於方程所表示的圓，可知，所以10分
（3）證：設四邊形四個頂點的座標分別為，，，.
則可得點的座標為，即12分
又，且，故要使、、三點共線，只需證即可.
而，且對於圓的一般方程，
當時可得，其中方程的兩根分別為點和點的橫座標，
於是有14分
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