力學第18屆預賽題
1.（25分）如圖預18－5所示，一質量為、長為帶薄擋板的木板，靜止在水平的地面上，設木板與地面間的靜摩擦係數與滑動摩擦係數相等，皆為．質量為的人從木板的一端由靜止開始相對於地面勻加速地向前走向另一端，到達另一端時便驟然抓住擋板而停在木板上．已知人與木板間的靜摩擦係數足夠大，人在木板上不滑動．問：在什麼條件下，最後可使木板向前方移動的距離達到最大？
其值等於多少？
參考解答
在人從木板的一端向另一端運動的過程中，先討論木板發生向後運動的情形，以表示人開始運動到剛抵達另一端尚未停下這段過程中所用的時間，設以表示木板向後移動的距離，如圖預解18-5所示．以表示人與木板間的靜摩擦力，以表示地面作用於木板的摩擦力，以和分別表示人和木板的加速度，則
1）2）
3）4）
解以上四式，得
（5）對人和木板組成的系統，人在木板另一端驟然停下後，兩者的總動量等於從開始到此時地面的摩擦力的衝量，忽略人驟然停下那段極短的時間，則有
6）為人在木板另一端剛停下時兩者一起運動的速度．設人在木板另一端停下後兩者一起向前移動的距離為，地面的滑動摩擦係數為，則有
7）木板向前移動的淨距離為
8）由以上各式得
由此式可知，欲使木板向前移動的距離為最大，應有
9）即10）
即木板向前移動的距離為最大的條件是：人作用於木板的靜摩擦力等於地面作用於木板的滑動摩擦力．
移動的最大距離
11）由上可見，在設木板發生向後運動，即的情況下，時，有極大值，也就是說，在時間0～內，木板剛剛不動的條件下有極大值．
再來討論木板不動即的情況，那時，因為，所以人積累的動能和碰後的總動能都將變小，從而前進的距離也變小，即小於上述的。
評分標準：本題25分
（1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；說明時木板向前移動的距離小於時的給1分。
2.（1 8分）在用鈾 235作燃料的核反應堆中，鈾 235核吸收乙個動能約為0.025的熱中子（慢中子）後，可發生裂變反應，放出能量和2～3個快中子，而快中子不利於鈾235的裂變．為了能使裂變反應繼續下去，需要將反應中放出的快中子減速。
有一種減速的方法是使用石墨（碳12）作減速劑．設中子與碳原子的碰撞是對心彈性碰撞，問乙個動能為的快中子需要與靜止的碳原子碰撞多少次，才能減速成為0.025的熱中子？
參考解答
設中子和碳核的質量分別為和，碰撞前中子的速度為，碰撞後中子和碳核的速度分別為和，因為碰撞是彈性碰撞，所以在碰撞前後，動量和機械能均守恆，又因、和沿同一直線，故有
1）2）
解上兩式得3）因
代入（3）式得
4）負號表示的方向與方向相反，即與碳核碰撞後中子被**．因此，經過一次碰撞後中子的能量為
於是5）
經過2，3，…，次碰撞後，中子的能量依次為，，，…，，有
6）因此7）
已知代入（7）式即得
8）故初能量的快中子經過近54次碰撞後，才成為能量為0.025 的熱中子。
評分標準：本題18分
（1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。
第19屆預賽
（15分）今年3月我國北方地區遭遇了近10年來最嚴重的沙塵暴天氣．現把沙塵上揚後的情況簡化為如下情景：為豎直向上的風速，沙塵顆粒被揚起後懸浮在空中（不動）．這時風對沙塵的作用力相當於空氣不動而沙塵以速度豎直向下運動時所受的阻力．此阻力可用下式表達
其中為一係數，為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度．
（1）若沙粒的密度 ，沙塵顆粒為球形，半徑，地球表面處空氣密度，，試估算在地面附近，上述的最小值．
（2）假定空氣密度隨高度的變化關係為，其中為處的空氣密度，為一常量，，試估算當時揚沙的最大高度．（不考慮重力加速度隨高度的變化）
參考解答
（1）在地面附近，沙塵揚起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應與重力平衡，即
式中為沙塵顆粒的質量，而
得代入資料得
（2）用、分別表示時揚沙到達的最高處的空氣密度和高度，則有
此時式①應為
由②、③、⑥、⑦可解得
代入資料得
評分標準：本題15分。
1. 第一小題8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。
2. 第二小題7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。
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