「探索求一元函式極值和最值方法」的學習報告
一、前言
函式的極值、最值不僅在實際問題中占有重要地位，而且也是函式形態的重要特徵。因此，通過學習、掌握確定極值點和最值點，並求出極值和最值的方法是十分重要的。
二、學習內容和過程
1.探索可能的極值點
(1)回顧相關定義、定理
a.極值定義：若函式f在點x0的領域u(x0)內對一切x∈u(x0)有f(x0)≥(≤)f(x)，則稱函式f在點x0確取得極大（小）值。稱x0為極大(小)值點。
b.費馬定理：設函式f在點x0的某領域內有定義，且在點x0可導。若點x0為f的極值點，則必有f』 (x0)=0。且稱這樣的點為穩定點。
(2)思考並回答下列問題。進一步分析可能的極值點型別。
a.可導點成為極值點一定是穩定點嗎？（是。通過費馬定理可證明）
b.函式的不可導點也能稱為極值點嗎？（能。例如y=| x|在x=0處取極小值）
c.函式的穩定點一定是極值點嗎？（不一定。例如y=x3，x=0為穩定點，但非極值點）
d.函式的不可導點一定是極值點嗎？（不一定。例如y=1/x，在x=0處不可導，但不是極值點）
e.函式在點x0處不可導，它包含了哪幾種情況？（①連續不可導②不連續）
f.除此之外，還有沒有其他型別的點極值點？（沒有）
穩定點，例如y=x2，x=0處
(3)由上面的問題得到極值點的範圍
連續不可導，例如y=| x|，x=0處
不可導點x2 x≠0
不連續點，例如y=
1 x=0
2.探索確定極值點的方法
由極值點的範圍可知極值點分為連續點和間斷點。對於剪短點，只要滿足在x0某領域內始終有f(x0)≥f(x)或者f(x0)≤f(x)，至於連續部分函式任意，這樣間斷點x0就為極大或極小值點，即判斷間斷點是否為極值點，只需要根據極值定義即可。下面主要討論連續點能否成為極值點的判斷。
(1)a.考察函式y=x2，y=x3，y=x1/3易知在x=0處連續，在u0(x)可導，且有
①y=x2 x<0時，f』 (x)<0，函式嚴格遞減
x>0時，f』 (x)>0，函式嚴格遞增
②y=x3 f』 (x) ≥0函式單調遞增
僅在x=0時，f』 (x)=0
③y=x1/3 f』 (x)>0.函式嚴格遞增且x=0處不可導
由y=x2在x=0處連續以及兩邊領域內的增減性可知y=x2在x=0處取得極小值，而y=x3以及y=x1/3由f(x)的增減性可知在x=0處不取極值。
b.啟發得到定理：設f在點x0連續，在某領域u0(x0)內可導則
ⅰ若當x∈u+0(x0)，f』 (x) ≤0，當x∈u—0(x0)，f』 (x) ≥0，則f在點x0處取得極大值
ⅱ若當x∈u+0(x0)，f』 (x) ≥0，當x∈u—0(x0)，f』 (x) ≤0，則f在點x0處取得極小值
（單調性可以驗證）
注：由條件在x0連續，在u0(x0)內可導，可知該定理適用於穩定點或連續不可導點。
(2)a.考察函式y=x2，y=-x2易知前者在x=0處取得極小值，後者在x=0處取得極大值，而且二者在x=0處的導數值都為0。觀察二者的二階導數符號特點。列表如下：
b. 設f在x0的某領域u(x0)內一階可導，在x= x0處二節可導，且一階導數為零。二階導數非零。則有ⅰ若二階導數小於零，則f在x0處取得極大值
ⅱ若二階導數大於零則f在x0處取得極小值（泰勒公式可驗證）
(3)a.進一步考察f(x)=x3和f(x)=x4等更高階導數和極值特點，類似(2)方法：若f(n)(x0)=0,考慮f(n+1)(x0)的符號。
b.啟發得定理：設f在x0的某領域內存在直到n-1階導函式，在x0處n階可導，且f(k)(x0)=0(k=1,2,3……n), f(n)(x0) ≠0,
ⅰ當n為偶數時，f在x0處取極值，且f(n)(x0)<0取極大值，f(n)(x0)>0取極小值，
ⅱ當n為奇數時，f在x0不取極值 (泰勒公式可驗證)
e-1/x2 x≠0
注：該定理為充分條件，例如f(x在x=0處取極小值。但
1 x=0
因為f(k)(x0)<0無法用該定理。
(4)綜上，在確定x0是否為f(x)的極值點時，首先觀察，若不連續則用定義判斷，若連續，再觀察在x0處是否可導，若不可導直接用定理1判斷，若可導再計算f』 (x0) ≠0，顯然不為極值點，若f』 (x0)=0再按相應定理判斷。
3.探索確定區間上連續函式的最值的方法
(1)回顧有界閉區間上連續函式的最值性
若f在閉區間[a,b]上連續，則f在[a,b]上有最大值與最小值
(2)考察函式f(x)=x2, f(x)=| x|在[-1,2]上的最大值和最小值的分布，以及f(x)=sinx在[0,π]內最大值和最小值的分布。如下表：
(3)得出結論：a.若函式f在(a，b)內取得極大或極小值則相應的極大或極小值中某乙個也為f在[a,b]內的最大或最小值
b.除極大或極小值可能成為最大或最小值外，端點值也可能最大或最小值
(4)求f在閉區間[a,b]內的最值的方法：先求出f在其中的極值，端點值，再比較所求極值，端點值的大小，得到相應的最值。
(5)進一步觀察函式f(x)=x2和f(x)=| x|在[-1,2]上極值點的個數。可以看到二者都只有乙個極值點，而這個極值點正好就是最值點
(6)得到另乙個求最值的特殊方法：當f在區間i上僅有唯一極值點x0時，該點也是f在ishang的相應最值點。
三、學習感想
通過探索學習，我不僅對求極值、最值的方法有了更全面的更深刻的認識，在學習討論的過程中，我體會到了積極主動提問、思考、求證的樂趣。只要常常思考，總會發現新的問題沒在解決這些問題的過程中，可能會遇到障礙，這時討論、請教和不放棄時解決問題的關鍵。總之在學習中要善於發現問題，主動思考。
數統學院0912班第8學習小組
主筆：鄧雪芹
成員：楊恆趙燕黎向瑩
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第二章一元函式微分學
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第五章一元函式微積分中的證明
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