實驗三：極限、導數及其應用
董揚、劉玉鳳、韓娟、李苗苗、王帆、李雲紅、鹹小強
3.1 實驗目的
掌握利用matlab求極限的基本方法。深入理解導數和微分的概念，導數的幾何意義，掌握利用matlab求一般函式，由引數方程確定的函式及隱函式的導數的基本方法。掌握利用matlab求方程的根（含近似根）和求函式極值的方法。
3.2實驗內容
3 .2.1 求極值
matlab中常用的求極限的語句如下。
limit(f,x,x0) 求x趨於x0時f(x)的極限。
limit(f,x,x0，『left』） 求x趨於x0時f(x)的左極限。
limit(f,x,x0,『right』) 求x趨於x0時f（x)的右極限。
limit(f, x ,+ in f) 求x趨於正無窮達時f（x)的極限。
limit(f, x, -in f) 求x趨於負無窮大時f(x)的極限。
limit(f, n , in f) 求n趨於無窮大時f(n）的極限。
例3-1 求
解輸入語句
syms x
limit (f, x,2)
執行語句後輸出
ans=
1/3例3-2 求極限。
解輸入語句
syms n
fn=limit(f, n, inf)
執行語句後輸出
f=2^(1/x）
fn=0例3-4計算。
解輸入語句
syms x
f=(sin(3*x)-sin(x))/x;
limit(f,x,0)
執行語句後輸出
ans=
2例3-5 計算。
解輸入語句
syms x
f=(1-cos(x))/ 2;
limit(f,x,0)
執行語句後輸出
ans=1/2
例 3-6 計算。
解輸入語句
syms x
f=((2-x)/(3-x)) (x+2);
limit(f, x ,inf)
執行語句後輸出
ans=
exp(1)
例3-7 計算。
解輸入語句
syms x a
f=(sin(x)/cos(x)-sin(a)/cos(a))/(x-a)
執行語句後輸出
f=(sin(x)/cos(x)-sin(a)/cos(a))/(x-a)
ans=
(cos(a) 2+sin(a) 2)/cos(a) 2
3.2.2 求函式的導數（含高階導數）
求導數的語句是diff，基本格式是
syms x
diff(`f(x)`,x,n)
其功能是對函式f(x)求關於x的n階導數，預設n為1.
例3-8 已知函式y=arctanln(3x-1),求y`.
解輸入語句
syms x
t=log(3*x-1);
dy_dx=diff(atan(t))
執行語句後輸出
dy_dx=
3/(3*x-1)/(1+log(3*x-1) 2)
例3-9 已知函式y=求y`。
解輸入語句
syms x
dy_dx=diff(x/((1+x2)) (1/2））
執行語句後輸出
dy_dx=
1/(1+x2) (1/2)-x2/(1+x2) (3/2)
例3-10 求函式y=cos(2x)的3階及10階導數。
解輸入語句
syms x
y=exp(x)*cos(2*x);
diff(y,3)
執行語句後輸出
ans=
-11*exp(x)*cos(2*x)+2*exp(x)*sin(2*x)
輸入語句
diff(y,10)
執行語句後輸出
ans=
237*exp(x)*cos(2*x)+3116*exp(x)*sin(2*x)
例3-11 求函式y=+2(x-10)的1到11階導數。
解輸入語句
syms x
y=x10+2*(x-10) 9
for n=1:1:11
diff(y,x,n)
end執行語句後輸出
ans=
10*x^9+18*(x-10)^8
ans=
90*x^8+144*(x-10)^7
ans=
720*x^7+1008(x-10)^6
ans=
5040*x^6+6048*(x-10)^5
ans=
30240*x^5+30240*(x-10)^4
ans=
151200*x^4+120960*(x-10)^3
ans=
604800*x^3+362800*(x-10)^2
ans=
1814400*x^2+725760*x-7257600
ans=
3628800*x+725760
ans=
3628800
ans=
03.2.3 求隱函式的導數
求隱函式的導數是指求由引數方程所確定的函式的導數。
求隱函式z=f(x,y)的導數的語句為
diff(z,x)/diff(z,y)
求引數方程x=φ(t),y=φ(t),所確定函式的導數語句為
diff(y,t)/diff(x,t)
例3-12 求由方程2x2-3xy+y2+x+5y-1=0所確定隱函式的導數。
解輸入語句
syms x y
z=2*x^2-3*x*y+y^2+x+5*y-1;
ds=-diff(z,x)/diff(z,y)
執行語句後輸出
ds=4*x+3*y-1)/(-3*x+2*y+5)
例3-13 設引數方程x=accost,y=bsint(橢圓方程)確定了函式y=y(x),求dy/dx.
解輸入語句
syms a b t
dx_dt=diff(a*cos(t));
dy_dt=diff(b*sin(t));
dy_dx=dy_dt/dx_dt
執行語句後輸出
dy_dx=
-b*cos(t)/a/sin(t)
3.2.4 求方程的近似根
求方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的解的語句是
roots(c)
其中，c是方程左端多項式的係數向量c=[an,an-1,…,a1,a0].
求一般方程f(x)=0的近似根的命令語句如下。
f=inline(『表示式』) 建立函式。
c=fzero(f,[a,b]) 求函式f(x)在區間[a,b]內的零點c.
c=fzero(d,x0) 求函式f(x)在x0附近的零點c.
例3-14 作f(x)=x5+x4-5x3+2x2-3x-7的圖形，用語句roots和fzero求方程f(x)=0的近似根。
解輸入語句
f =inline(『x^5+x^4-5*x^3+2*x^2-3*x-7』);
c= [1,1,-5,2,-3,-7];
c1= roots
c2= fzero(f,[-10,10])
執行語句後輸出
c1=-2.9495
1.9493
0.4239+1.1277i
0.4239-1.1277i
-0.8415
c2=-2.9495
輸入作圖語句
syms x
ezplot (『x^5+x^4-5*x^3+2*x^2-3*x-7』,[-10,10])
執行語句後輸入圖3-1所示的圖形
圖3-1 函式f(x)=x5+x4-5x3+2x2-3x-7所確定的圖形
3.2.5求一元函式的極值和最值
用matlab求一元函式f(x)的極小值的近似值的語句是fminbnd，基本格式如下。
[x,y]=fminbnd(f,a,b) 返回函式f在[a,b]內的極小值。
[x,y]= fminbnd(f,x0) 返回函式f在初始值x0附近的極小值。
例3-15求函式y=x/(1+x2)在[-8,8]內的極值。
解輸入語句
ezplot(『x/(1+x^2)』,[-8,8])
grid
f= (『x/(1+x^2)』);
f1= (『-x/(1+x^2)』);
xmin, ymin]= fminbnd(f,-8,8)
求出f在[-8,8]上的極小值點
xmin, ymin]= fminbnd(f1,-8,8);
求出f1在[-8,8]上的極值點，即f在[-8,8]上的極大值點
xmax= xmin0
ymax= -ymin0
把f1在[-8,8]上的極小值點轉化為f在[-8,8]上的極大值點
執行語句後輸出
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