數學實驗報告實驗
三學院：數學與統計學院
班級：資訊與計算科學(1)班
姓名： 郝玉霞
學號：201171020107
實驗三一、實驗名：最佳分數近似值
二、實驗目的：研究怎樣用分數近似值去給定的無理數作最佳逼近。「最佳」就是既要誤差小，又要分母小。
我們首先需要對「最佳」定出具體而明確的標準，還要尋找乙個求最佳分數近似值的簡單易行的演算法。
三、實驗環境：學校機房，mathematica軟體。
四、實驗的基本理論和方法：1、根據高中數學及大學數學中所學內容，經過分析研究，得出基本結論，利用mathematica來進行驗證，並尋找乙個求最佳分數近似值的簡單易行的演算法。
2、計算圓周率「連分數展開」方法，並且利用特定的函式來展開其他數。
3、mathematica中常用的展開數與多項式的函式的使用；
五、實驗的內容和步驟實驗步驟：
1、計算對數值
對給定的正實數b，n且b1，要求對數值a=,也就是求實數a使=n，如果能找到整數p，q使,則， ，以lg2為例：由=10241000=可得lg2=0.3，再要提高精確度，就要找出更大的q使更接近10的某個冪，也就是使更接近於1。
練習題1：
讓q依次取遍1到10000的所有的正整數，對每乙個q，按如下的遞推法則求出乙個正整數p=p(q)使實數最接近於1：
q=1時，p(1)=0, (1)= =2.
設已對q求出p(q)和(q)，計算2 (q)，如果2 (q)<,則取p(q+1)=p(q), (q+1)=2 (q),如果2（q），則取p(q+1)=p(q)+1， (q+1)=.
如果(q)比以前所有的(i)()都更接近1，即| (q)-1|<| (i)-1|對所有的1iq-1成立，就取都是最佳逼近lg2的的分數近似值，它們可以展開成小數近似值。
2、 分數對無理數的最佳逼近
設是給定的無理數。怎樣的分數能夠稱為的最佳分數近似值？既然「最佳」的標準是既要誤差小，又要分母小，如果有乙個分數的分母q比如，對π=3.
14159265···，分母為1最接近π的分數近似值為，是π最佳分數逼近。分母為2最接近π的分數近似值是，它的分母比1大，但誤差不比小，是比更差的分數近似值，不是最佳。
我們也可以將誤差小、分母小這兩個標準綜合起來，以誤差δ=|-|與分母q的乘積qδ為標準來判定分數近似值的優劣，qδ越小，越優，還可以進一步強化「分母小」這一要求，用δ作衡量標準，δ值越小越優化。
練習題2：取n =10000，讓分母q依次取遍1到n的整數值，對每乙個分母q，將qπ四捨五入得到乙個整數p作為分子，從而得到分母為q的最接近π的分數近似值p/q.
（1）讓這n個分數中按下面規則依次參加「擂台賽」，選出對π做最佳逼近的分數：
語句：結果：
（2）題目見課本33頁
語句：結果：
（3）題目見課本33頁
語句：結果：
3、二元一次不定方程的整數解
問題：設a, b, c是整數，求二元一次方程ax +by=c的整數解。
不妨設a, b都不為0，否則方程很容易解，必要時交換未知數x, y，可化為|a|>=|b|的情形，並可使a>0.
利用輾轉相除法可得到餘數數列a , |b| , ,……和商數列使除以的商為，餘數為.(約定)由於逐步減小的正整數，必然有某個，餘數數列和商數列終止。最後乙個非零的就是a , b的最大公約數d=(a, b ).
而分數被展開成有限連分數 .
去掉這個連分數的最後一項，再將所得的連分數化成普通的既約分數，則是的漸進分數近似值： .
誤差 。
於是如果c不被d整除，則原方程無整數解.否則，t=c/d是整數，設b=p |b|,(p=1).則
是方程的一組整數解.方程的通解為，其中取遍所有整數.
六、實驗結果和結果分析：
雖然在實驗過程中存在語句錯寫問題，但經過分析、改正均達到實驗預期結果；並在最後給出了用公式法計算π的值，但有待於實驗驗證。
七、實驗總結：
通過本次實驗，掌握了用分數近似值去給定的無理數作最佳逼近。進一步熟悉了對mathematica軟體的應用。
實驗效果良好。
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