金陵中學2013—2014學年度第一學期學情調研試卷2013．10
高二數學
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．
1．設集合m＝，函式f(x)＝的定義域為n，則m∩n0，1)
2．已知cosα＝，且α∈(－，0)，則sin
3．平面直角座標系中，不等式組表示的平面區域的面積是 ▲ ．4
4. 已知函式f(x)＝則f(log23
5．從圓(x－1)2＋(y－1)2＝1外一點p(2，3)向這個圓引切線，則切線的方程為
3x－4y＋6＝0及x＝2
6．若a與b－c都是非零向量，則「a·b＝a·c」是「a⊥(b－c)」的 ▲ 條件．
(填「充分不必要」、「必要不充分」、「充要」或者「既不充分又不必要」) 充要
7．等差數列中，公差d≠0，且2a3－a72＋2a11＝0，數列是等比數列，且b7＝a7，則b6b816
8.設x、y滿足約束條件則目標函式z＝16x＋y的最大值為 ▲ ．35
9．①命題「若xy＝1，則x，y互為倒數」的逆命題；
②命題「面積相等的三角形全等」的否命題；
③命題「若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實根」的逆否命題；
④命題「若a∩b＝b，則ab」的逆否命題．
其中是真命題的序號是
10．如果兩條直線l1：x＋a2y＋6＝0與l2：(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，則實數a 的值是 ▲ ．0或－1
11．過點a(3，2)，圓心在直線y＝2x上，與直線y＝2x＋5相切的圓的方程為 ▲ ．
(x－2)2＋(y－4)2＝5，或(x－)2＋(y－)2＝5
12．過點p(，1)的直線l與圓c：(x－1)2＋y2＝4交於a，b兩點，當∠acb最小時，直線l的方程為 ▲ ．2x－4y＋3＝0
13．已知函式f(x)＝(x＞0)，若a＜b時，f(a)＝f(b)，則a＋b的取值範圍為 ▲ ．
(4，＋∞)．
14．若對於給定的正實數，函式f(x)＝的影象上總存在點c，使得以c為圓心，1為半徑的圓上有兩個不同的點到原點o的距離為2，則k的取值範圍是0，)．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分14分)
已知m＞0，p：x2－4x－12≤0，q：2－m≤x≤2＋m．
(ⅰ)若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值範圍；
(ⅱ)若m＝5，「p或q」為真命題，「p且q」為假命題，求實數x的取值範圍．
解 (ⅰ) a＝[－2，6]，b＝[2－m，2＋m] ，
實數m的取值範圍是(4
(ⅱ)a＝[－2，6]，b＝[－3，7] ，
實數x的取值範圍是[－3，－2)∪(6，7]．
16．(本小題滿分14分)已知直線l：x－2y－5＝0與圓o：x2＋y2＝50相交於點a，b，求：
(1)交點a，b的座標；(2)△aob的面積；(3)圓心角aob的余弦．
解：(1)由方程組消x得y2＋4y－5＝0，解得y1＝1，y2＝－5，
所以所以點a，b的座標分別為(7，1)，(－5，－5)．
(2)由(1)知直線ab的方程為x－2y－5＝0．
因為圓o的圓心為座標原點o，半徑為5，所以原點o到直線ab的距離為
d＝＝．又 ab＝＝6，
所以△aob的面積為s＝×6×＝15．
(3)方法一因為oa＝5，ob＝5，ab＝6，
所以 cos∠aob＝＝－．
方法二由(1)得＝(7，1)，＝(－5，－5)，∠aob＝＜，＞，
所以 cos∠aob＝＝＝－
17．(本小題滿分14分) 如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，
ab＝ac，點d為bc中點，點e為bd中點，點f在ac1上，
且ac1＝4af.
(1)求證：平面adf⊥平面bcc1b1；
(2)求證：ef //平面abb1a1.
證明：(1) 因為直三稜柱abc－a1b1c1，所以cc1平面abc，
而ad平面abc， 所以cc1ad.
又ab＝ac，d為bc中點，所以adbc，
因為bccc1＝c，bc平面bcc1b1，cc1平面bcc1b1，
所以ad平面bcc1b1，
因為ad平面adf，所以平面adf⊥平面bcc1b1.
(2) 鏈結cf延長交aa1於點g，鏈結gb.
因為ac1＝4af，aa1//cc1，所以cf＝3fg，
又因為d為bc中點，點e為bd中點，所以ce＝3eb，
所以ef//gb，而ef平面abba1，gb 平面abba1，
所以ef //平面abba1.
18．(本小題滿分16分)
在平面直角座標系xoy中，曲線y＝x2－6x＋1與座標軸的交點都在圓c上．
(1)求圓c的方程；
(2)若圓c與直線x－y＋a＝0交於a，b兩點，且oa⊥ob，求a的值．
解：法一：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0，1)，
與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可設c的圓心為(3，t)，
則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
則圓c的半徑為＝3.
所以圓c的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.
法二：設所求圓的一般方程為x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，
令y＝0 得x2＋dx＋f＝0，這與x2－6x＋1＝0 是同乙個方程，故d＝－6，f＝1．
令x＝0 得y2＋ey＋f＝0，此方程有乙個根為1，代入得出e＝－2．
∴圓c的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0．
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其座標滿足方程組
消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判別式δ＝56－16a－4a2＞0.
從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. ①
由於oa⊥ob，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②
由①②得a＝－1，滿足δ＞0，故a＝－1.
19．(本小題滿分16分)如圖，兩座建築物ab，cd的底部都在
同乙個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9m和15m，
從建築物ab的頂部a看建築物cd的張角∠cad＝45°．
(1)求bc的長度；
(2)**段bc上取一點p(點p與點b，c不重合)，
從點p看這兩座建築物的張角分別為∠apb＝α，
∠dpc＝β，問點p在何處時，tan(α＋β)最小？
解：(1)如圖作an⊥cd於n．
∵ab∥cd，ab＝9，cd＝15，∴dn＝6，ec＝9．
設an＝x，∠dan＝θ，
∵∠cad＝45°，∴∠can＝45°－θ．
在rt△anc和rt△and中，
∵tanθ＝，tan(45°－θ)＝
∴＝tan(45°－θ)＝
化簡整理得x2－15x－54＝0，
解得x1＝18，x2＝－3(捨去)．
bc的長度是18 m．
(2)設bp＝t，所以pc＝18－t，tanα＝，tanβ＝，
所以tan
≥－當且僅當t＋27＝，即t＝15－27時，tan(α＋β)最小．
答：p在距離b15－27時，tan(α＋β)最小．
20. (本小題滿分16分) 已知圓m：(x－1)2＋y2＝1，a(，)，
b(0，t)，c(0，t－4)(其中0＜t＜4)．
(1)過點a的直線l被圓m截得的弦長為，
求直線l的方程；
(2)若直線pb，pc都是圓m的切線，且點p在
y軸右側，求△pbc面積的最小值．
解： (1)①當l⊥x軸時，l的方程為x＝，滿足題意．
②當l與x軸不垂直時，設l：y－＝k(x－)，
即kx－y＋＝0．所以圓心m到l的距離d＝，
又直線被圓所截弦長為，則d＝＝，
所以＝，解得：k＝－，所以l：12x＋5y－＝0．
綜上，直線l的方程為x＝，或24x＋10y－37＝0．
(2)方法一：設pb的斜率為k，則pb：y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0．
因為pb與圓m相切，所以＝1，得k＝．
所以pb：y＝x＋t． 同理可得pa：y＝x＋t－4．
由解得xp＝．
由＝＝1＋． 因為0＜t＜4，所以0＞t2－4t≥－4，所以≤，xp≥．
當t＝2時，xp＝，此時s△abc＝．
方法二：設圓m與直線cp，bp分別切與g，h，鏈結mo，cm，
設∠obm＝α，∠ocm＝β則∠mpc＝－α－β
由bc＝4，得＋＝4，
所以4＝＋≥2 得tanαtanβ≥，當且僅當α=β時取等號
又ph＝ tan(α＋β)＝＝＝≥
所以s△abc＝(bc＋pc＋bp)r＝4＋ph≥＋4＝，所以△pbc面積的最小值.
附加題：(本題滿分20分，以160＋20的形式計分)
21．設集合a＝，b＝ ，若a∩b≠ ，求實數m的取值．
解因為對任意m∈r，都有2m≤2m＋1，所以b≠，集合b表示在直線x＋y＝2m與直線x＋y＝2m＋1之間的平面區域(包含邊界)．
當＞m2，即0＜m＜時，a＝，不滿足條件；
當≤m2，即m≤0或m≥時，a≠．
(1)若m≤0，則a＝表示以點(2，0)為圓心，半徑為|m|的
圓面(m＝0時是原點)， a∩b≠等價於點(2，0)到直線x＋y＝2m＋1的距離不大於半徑|m|，即≤|m|，即2m2－4m＋1≤0，即(m－1)2≤，解得1－≤m≤1＋，所以m∈；
(2)若m≥，則a＝表示以點(2，0)為圓心，大圓半徑為|m|，小圓半徑為的圓環．
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