上海南匯中學2011—2012學年度高三第一次考試數學試題
1．答卷前，考生務必將班級、姓名、考號等在答題紙的相應位置填寫清楚。
2．本試卷共有23道試題，滿分150分，考試時間120分鐘。請考生用黑色鉛筆或原子筆將答案填寫在答題紙的指定位置
一、填空題（本大題共有14題，每小題4分，滿分56分）
1．已知集合u=，a=，b=，則
2．表示為
3．過點a（2，-3），且法向量是的直線的點方向式方程是
4．若，則x
5．以f1（-3，0）、f2（3，0）為焦點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程是 。
6．在等差數列中，若公差，且成等比數列，則公比q= 。
7．已知是平面上兩上不共線的向量，向量，若，則實數m= 。
8．點a（3，1）和b（-4，6）在直線的兩側，則a的取值範圍是
9．設的展開式各項係數之和為展開式的二項式係數之和為，則
10．函式的影象恆過定點a，若點a在直線上，則的最小值是
11．已知長方體的三條稜長分別為1，1，2，並且該長方體的八個頂點都在乙個球的球面上，則此球的表面積為
12．乙個不透明的袋中裝有5個白球、4個紅球（9個球除顏色外其餘完全相同），經充分混合後，從袋中隨機摸出3球，則摸出的3球中至少有乙個是白球的概率為
13．已知數列是以3為公差的等差數列，是其前n項和，若是數列中的唯一最小項，則數列的首項的取值範圍是
14．若直角座標平面內的兩點p、q滿足條件：①p、q都在函式的影象上；②p、q關於原點對稱，則答點對（p，q）是函式的乙個「友好點對」（點對（p，q）與（q，p）看作同乙個「友好點對」）。已知函式則此函式的「友好點對」有對。
二、選擇題（本大題共有4題，每小題5分，滿分20分）
15．已知實數，則「線性方程組有無窮多組解」是「a、b、c成等比數列」的
a．充分非必要條件 b．必要非充分條件[**:學科網]
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
16．已知程式框圖如圖所示，則該程式框圖的功能是（ ）
a．求數列的前10項和
b．求數列的前10項和
c．求數列的前11項和
d．求數列的前11項和
17．如圖，正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為6，動點e、f在
稜a1b1上，動點p、q分別在稜ab、cd上，若ef=2，
dq=x，ap=y，則四面體pefq的體積**:學§科§網z§x§x§k]
a．與x，y都無關 [**:學科網]
b．與x有關，與y無關[**:z_xx_
c．與x、y都有關
d．與x無關，與y有關[**:學+科+網z+x+x+k]
18．若的面積則夾角的取值範圍是（）
a． b． c． d．
三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）
19．（本題滿分12分）本題有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分。
已知關於t的方程乙個根為
（1）求方程的另乙個根及實數a的值；
（2）若上恆成立，試求實數m的取值範圍。
20．（本題滿分14分）本題有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。
用平方公尺的材料製成乙個有蓋的圓錐形容器，如果在製作過程中材料無損耗，且材料的厚度忽略不計，底面半徑長為x，圓錐母線的長為y。
（1）建立y與x的函式關係式，並寫出x的取值範圍；
（2）圓錐的母線與底面所成的角大小為，求所製作的圓錐容器容積多少立方公尺（精確到0.01m3）.
21．（本題滿分14分）本題有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
在數列中，
（1）設，求數列的通項公式；
（2）記數列的前n項和為，試比較的大小。
22．（本題滿分16分）本題有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分8分。
我們將具有下列性質的所有函式組成集合m：函式，對任意
均滿足，當且僅當時等號成立。
（1）若定義在上的函式大小；[**:學#科#網]
（2）給定兩個函式：證明：
（3）試利用（2）的結論解決下列問題：若實數m，n滿足，求m+n的最大值。
23．（本題滿分18分）本題有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分。
定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的乙個頂點組成的三角形稱為該橢圓的「特徵三角形」。如果兩個橢圓的「特徵三角形」是相似的，則稱這兩個橢圓是「相似橢圓」，並將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。
已知橢圓
（1）若橢圓判斷c2與c1是否相似？如果相似，求出c2與c1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓c1相似且短軸半軸長為b的焦點在x軸上的橢圓cb的標準方程；若在橢圓cb上存在兩點m、n關於直線對稱，求實數b的取值範圍？
（3）如圖：直線與兩個「相似橢圓」
分別交於點a，b和點c，d，
試在橢圓m和橢圓上分別作出點e和點f（非橢圓頂點），使和組成以為相似的兩個相似三角形，寫出具體作法。（不必證明）
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