二次根式的知識點彙總
知識點一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號「」；第二，被開方數是正數或0．
知識點二：取值範圍
1、 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大於或等於零即可。
2、 二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。
例2．當x是多少時，在實數範圍內有意義？
例3．當x是多少時，+在實數範圍內有意義？
知識點三：二次根式（）的非負性
（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是乙個非負數，即0（）。
注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即0（），這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。
例4(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求a2004+b2004的值
知識點四：二次根式（）的性質
（）文字語言敘述為：乙個非負數的算術平方根的平方等於這個非負數。
注：二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
例1 計算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
例2在實數範圍內分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
知識點五：二次根式的性質
文字語言敘述為：乙個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值。
注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等於a本身，
即；若a是負數，則等於a的相反數-a,即；
2、中的a的取值範圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
例1 化簡
（1） （2） （3） （4）
例2 填空：當a≥0時，=_____；當a<0時並根據這一性質回答下列問題．
（1）若=a，則a可以是什麼數？（2）若=-a，則a是什麼數？ （3）>a，則a是什麼數？
例3當x>2，化簡-．
知識點六：與的異同點
1、不同點：與表示的意義是不同的，表示乙個正數a的算術平方根的平方，而表示乙個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。
因而它的運算的結果是有差別的，，而
2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.
知識點七：二次根式的乘除
1、 乘法·＝（a≥0，b≥0） 反過來： =·（a≥0，b≥0）
2、除法=（a≥0，b>0） 反過來， =（a≥0，b>0）
（思考：b的取值與a相同嗎？為什麼？不相同，因為b在分母，所以不能為0）
例1．計算
（1）4× （2）× （3）× （4）×
例2 化簡
（1） （2） （3） （4）
例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：
（1）（2）×=4××=4×=4=8
例4．計算：（1） （2） （3） （4）
例5．化簡：
（1） （2） （3） （4）
例6．已知，且x為偶數，求（1+x）的值．
3、最簡二次根式應滿足的條件：
（1）被開方數不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被開方數中不含開得盡方的因數或因式
（熟記20以內數的平方；因數或因式間是乘積的關係，當被開方數是整式時要先判斷是否能夠分解因式，然後再觀察各個因式的指數是否是2（或2的倍數），若是則說明含有能開方的因式，則不滿足條件，就不是最簡二次根式）
例1．把下列二次根式化為最簡二次根式(1) ; (2) ; (3)
4、化簡最簡二次根式的方法：
(1) 把被開方數(或根號下的代數式)化成積的形式，即分解因式；
(2) 化去根號內的分母（或分母中的根號），即分母有理化；
(3) 將根號內能開得盡方的因數(或因式)開出來．（此步需要特別注意的是：開到根號外的時候要帶絕對值，注意符號問題）
5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：
①與； ②與；
③與； ④與．
說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化．
13、同類二次根式：被開方數相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。
判斷是否是同類二次根式時務必將各個根式都化為最簡二次根式。如與
知識點八：二次根式的加減
1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）進行合併。（合併方法為：
將係數相加減，二次根式部分不變），不能合併的直接抄下來。
例1．計算（1）+ （2）+
分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合併．
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．計算
（1）3-9+3（2）（+）+（-）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
2、二次根式的混合運算：先計算括號內，再乘方（開方），再乘除，再加減
3、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有．
（3）將兩個根式都平方，比較平方後的大小，對應平方前的大小
例4．比較3與4的大小
二次根式八年級數學練習卷
一 填空 1 化簡 2 的有理化因式是分母有理化 3 當時，在實數範圍內有意義 4 化簡 5 計算 4 6 已知與是同類根式，則y 7 比較大小 8 乙個三角形的邊長為cm，這邊上的高為cm，則它的面積為9 如果，則 10 解不等式 11 方程的一次項係數為 常數項為12 當m 時，關於x的方程是一...
八年級數學《二次根式》檢測題
班級姓名 一 選擇題 1 如果有意義，那麼字母的取值範圍是 abcd 2 下列式子中二次根式的個數有 a 2個b 3個c 4個d 5個 3 已知，那麼的值為 a 1 b 1 c d 4 下列計算正確的是 a b c d 5 下列計算正確的是 a b c d 6 下列二次根式中與是同類二次根式的是 a...
習題八年級《二次根式》
八年級下冊 二次根式 習題 一 選擇題 1 下列式子一定是二次根式的是 a b c d 2 若，則 a b 3 b b 3 c b 3 d b 3 3 若有意義，則m能取的最小整數值是 a m 0 b m 1 c m 2d m 3 4 下列二次根式中屬於最簡二次根式的是 a b c d 5.能使等式...