內容概述
涉及質數與合數等概念,以及需要利用數的整除特徵、分解質因數等數論手段解的數字謎問題．
典型問題
1.試將1,2,3,4,5,6,7分別填入下面的方框中,每個數字只用一次: 口口口(這是乙個三位數).
口口口(這是乙個三位數),口(這是乙個一位數),使得這三個數中任意兩個都互質.已知其中乙個三位數已填好,它是714,求其他兩個數．
【分析與解】 714=2×3×7×17．
由此可以看出,要使最下面方框中的數與714互質,在剩下未填的數字2,3,5，6中只能選5，也就是說，第三個數只能是5．
現在來討論第二個數的三個方框中應該怎樣填2,3,6這3個數字．
因為任意兩個偶數都有公約數2,而714是偶數,所以第二個的三位數不能是偶數,因此個位數字只能是3.這樣一來,第二個三位數只能是263或623.但是623能被7整除,所以623與714不互質．
最後來看263這個數.通過檢驗可知:714的質因數2,3,7和17都不是263的因數,所以714與263這兩個數互質．
顯然,263與5也互質．
因此,其他兩個數為263和5．
2.如圖19-1,4個小三角形的頂點處有6個圓圈.如果在這些圓圈中分別填上6個質數，它們的和是20，而且每個小三角形3個頂點上的數之和相等.問這6個質數的積是多少?
【分析與解】 設每個小三角形三個頂點上的數的和都是s.4個小三角形的和s相加時,中間三角形每個頂點上的數被算了3次,所以 4s=2s+20,即s=10．
這樣,每個小三角形頂點上出現的三個質數只能是2,3,5,從而六個質數是2,2,3,3,5,5,它們的積是：
2×2×3×3×5×5=900
3.在圖19-2.所示算式的每個方框內填人乙個數字,要求所填的數字都是質數,並使豎式成立．
【分析與解】記兩個乘數為和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7．
由已知條件,b與c相乘的個位數字仍為質數,這只可能是b與c中有乙個是5另乙個是3、5或7,如果b不是5,那麼c必然是5,但73×5=365、77×5=385的十位數字都不是質數.因此b是5,c是3、5、7中的乙個,同樣道理,d也是3、5、7中的乙個．
再由已知條件,的乘積的各位數字全是質數,所以乘積肯定大於2000,滿足積大於2000且a、c取質數,只有以下六種情況：
775×3=2325,575×5=2875,775×5=3875,375×7=2625,575×7=4025,775×7=5425．
其中只有第一組的結果各位數字是質數,因此a=7,c=3，同理,d也是3．
最終算式即為775×33=25575
4.把乙個兩位數的個位數字與其十位數字交換後得到乙個新數,它與原來的數加起來恰好是某個自然數的平方.那麼這個和數是多少?
【分析與解】 設原來的兩位數為,則交換十位數字與個位數字後的兩位數為,兩個數的和為,兩個數和為＋=
是ll的倍數,因為它是完全平方數,所以也是11 ×11=121的倍數.但是這個和小於100+100=200
<121×2,所以這個和數只能是121．
5. 迎杯×春杯=好好好
在上面的乘法算式中,不同的漢字表示不同的數字,相同的漢字表示相同的數字.那麼「迎+春+杯+好」之和等於多少?
【分析與解】 好好好=好×111=好×3×37．
那麼37必定是「迎杯」或「春杯」的約數,不妨設為「迎杯」的約數,那麼「迎杯」為37或74．
當「迎杯」為37時,「春杯」為「好」×3,且「杯」為7,此時「春杯」為27,「好」為9,「迎+春+杯+好」之和為3+2+7+9=21；
當「迎杯」為74時,「春杯」為「好」×3÷2,且「杯」為4,此時「春杯」為24,「好」為16,顯然不滿足．
所以「迎+春+杯+好」之和為3+2+7+9=21．
6． 數數×科學=學數學
在上面的算式中,每一漢字代表乙個數字,不同的漢字代表不同的數字.那麼「數學」所代表的兩位數是多少?
【分析與解】 「學數學」是「數數」的倍數，因而是「數」與1l的倍數.學數學=學×101+數×10是「數」的倍數,而101是質數,所以「學」一定是「數」的倍數．
又「學數學」是11的倍數,因而:「學+學-數」為11的倍數．
因為「學」是「數」的倍數,從上式推出「數」是11的約數,所以「數」=1,「學」=(11+1)÷2=6．
「數學」所代表的兩位數是16．
7.將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數字分別填人下式的各個方框中,可使此等式成立:口口×口口=口
口×口口口=3634．填好後得到三個兩位數和乙個三位數,這三個兩位數中最大的乙個是多少?
【分析與解】 3634=2×23×79,表達為兩個兩位數的乘積只能是(2×23)×79,即46×79；
表達為乙個兩位數與乙個三位數的乘積,只能是23×(2×79)=23×158．
滿足題意,所以這三個兩位數中最大的乙個是79．
8.六年級的學生總人數是三位數,其中男生佔,男生人數也是三位數,而組成以上兩個三位數的6個數字,恰好是l,2,3,4,5,6.那麼六年級共有學生多少人?
【分析與解】 設六年級總人數為,其中男生有人．
有×=,即5=3,其中為5的倍數,所以z為5.而為3的倍數，所以其數字和a+b+c應為3的倍數,則在剩下的5個數中,a、b、c(不計順序)只能為1,2,6或l,2,3或4,2,6或4,2,3．
而c不能是偶數(不然z應為0),所以只能是l,2,6或1,2,3或4,2,3可能滿足；又因為最大為645,對應為387,即c不超過3．
於是有可能為261,123,321,213,231,243這6種可能,驗證只有當=261時,對應為261÷3×5=435．
所以六年級共有學畢435人.
9.圖19-3是三位數與一位數相乘的算式,在每個方格填入乙個數字,使算式成立.那麼共有多少種不同的填法?
【分析與解】 設1992=×d(a,b,c,d可以相同),有1992=2×2×2×3×83,其中d可以取2,3，4，6,8這5種,對應的算式填法有5種．
10.在圖19-4殘缺的算式中,只寫出3個數字l,其餘的數字都不是1.那麼這個算式的乘積是多少?
【分析與解】 如下圖所示,為了方便說明,將某些數用字母標出．
第4行口口1對應為ab×c,其個位為1,那麼b×c的個位數字也是1,而b、c又均不能為1,所以只有3×7,9×9對應為1,那麼b為9、7或3．
第3行10口對應為ab×d,可能為100、102、103、104、105、106、107、108、109.103、107、109均為質數,沒有兩位數的約數,不滿足；
100、105沒有個位數字為3、7、9的約數,不滿足；
102=17×6、104=13×8、106=53×2、108=27×4,但102、104對應的ab中4均為1,不滿足．
所以ab為53或27．
當ab為27時,第4行為27×c,且個位數字為1,所以只能為27×3=8l,但不是三位數,不滿足．
當ab為53時,第4行為53×c,且個位數字為1,所以只能為53×7=371,因此被乘數必須為53,乘數為72,積為3816．
11.圖19-5是乙個殘缺的乘法豎式,在每個方框中填入乙個不是2的數字,可使其成為正確的算式.那麼所得的乘積是多少?
【分析與解】 方法一:由已知條件,最後結果的首位數字不能是2,因此只能是3.這說明千位上作加法時有進製．
百位數上相加時最多向千位進2,所以要使千位數有進製,其中的未知數字至少是10-2-2=6,即三個三位數加數中的第二個至少是600.因為它是第乙個乘數與乙個一位數字的乘積,因此該乘數肯定大於60．
第二個乘數的百位數字與第乙個乘數的乘積在220～229之間,所以它只能是3(否則4×60>229).而220～229之間個位數字不是2且是3的倍數的只有225=3×75和228=3×76．
如果第一乘數是75,又第二個乘數的百位數字是3,那麼它們的乘積小於75×400=30000,它的首位數字也就不可能是3,不滿足．
乘數是76,另乙個乘數就要大於30000÷76>394,那麼只有395、396、397、398、399這五種可能,它們與76的乘積依次為30020、30096、30172、30248、30324.由於各個數字都不能是2,所以只有76×396=30096滿足題目的要求．
算式中所得的乘積為30096．
方法二：為了方便說明，將某些位置標上字母，如下圖所示，因為乾位最多進
1，而最終的乘積萬位又不能是2，所以只能是3：
而第5行對應為22口=ab×c,其中c不可能為1,又不能為2,那麼最小為3．
當c為3時,22口=ab×3,那麼a只能為7,b只能為4,5或6，
(1)當b為4時,74×3=222,第5行個位為2,不滿足題意；
(2)當b為5時,ab×cde對應為75×3de,小於30000,不滿足；
(3)當b為6時,ab×cde對應為76×3de,d只能為9,此時第4行對應為
ab×d即76×9=684.因為30000÷76>394,所以39e只有395、396、397、398、399這五種可能,它們與76的乘積依次為30020、30096、30172、30248、30324.由於各個數字都不能是2,所以只有76×396=30096滿足題目的要求．
驗證c取其他值時沒有滿足題意的解．
所以算式中所得的乘積為30096．
12.請補全圖19-6這個殘缺的除法豎式.問這個除法算式的商數是多少?
【分析與解】 易知除號下第二行的首位為9.除號下第一行開頭兩位為1、0,商的十位為0．
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