27.３ 用推理方法研究四邊形(5)
第5課時
（一）本課目標
1．理解三角形、梯形中位線的概念．
2．掌握三角形、梯形中位線定理的證明方法．
3．能熟練運用定理進行有關論證和計算．
（二）教學流程
1．情境匯入
如圖所示，a、b兩點被池塘隔開，如何才能知道它們之間的距離呢？
2．課前熱身
如圖所示，在ab外選一點c，鏈結ac和bc，並分別找出ac和bc的中點m、n，通過測量mn就可以計算出a、b兩點的距離，這是為什麼呢？
這裡的mn是△abc的中位線，它有著特殊性質，這正是我們這節課要學習的內容．
3．合作**
（1）整體感知
（板書）鏈結三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線．
要注意：①中位線與中線這兩個概念的區別．
②三角形有幾條中位線？
梯形也有中位線，它又是怎樣定義的呢？
（板書）鏈結梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線．
梯形有幾條中位線？
（2）四邊互動
互動1師：下面我們來探索三角形中位線的性質．
如圖所示，在△abc中，ad=db，ae=ec．
求證：de∥bc，de=bc．
要證明線段平行，有哪些途徑？
要證明線段有倍分關係，又有哪些方法？
生：利用角相等，全等三角形或平行四邊形的性質可證明線段平行；利用加位或取半可證明線段的倍分關係．
師：可以延長de到f，使ef=de，鏈結fg，證出△ade≌△cfe，從而證出四邊形bcfd是平行四邊形，則有de∥bc且de=bc．
生：（教師指導學生寫出證明過程）
師：（板書）三角形中位線平行於第三邊且等於第三邊的一半．
這個定理的證明還有其他方法，同學們課外完成．
明確總結定理的證明思路，體會解決問題的一般途徑，並熟記定理內容加以運用．
互動2師：與三角形中位線類似，梯形中位線也有它的特殊性質．
已知：如圖所示，在梯形abcd中，ad∥bc，ae=be，df=cf．
求證：ef∥bc，ef=（ad+bc）．
經過分析、比較，發現本題結論與三角形中位線定理的結論比較接近，可以考慮將梯形中位線轉化為三角形中位線．
生：鏈結af並延長交bc延長線於g，先證明△adf≌△gcf，從而得到ef為△abg的中位線即可．
師：很好，請同學們按這個思路寫出證明過程．
生：（教師指導學生完成）
師：（板書）梯形中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半．
學習這個定理之後，梯形面積公式可以怎樣改定？
生：s=（a+b）h=lh（其中a、b為兩底，h為高，l為中位線）
明確把握定理的特點：同一題設下兩個結論，一是中位線與底的位置關係，二是中位線與底的數量關係．
互動3師：剛才我們比較了三角形的中位線與梯形的中位線，現在來探索三角形的中位線與第三邊上的中線有何關係？
已知：如圖所示，在△abc中，ad=db，be=ec，af=fc．
求證：ae、df互相平分．
要證ae、df互相平分，可通過鏈結de、ef，證明四邊形adef為平行四邊形．
生：（教師引導學生完成證明過程）
明確利用三角形、梯形中位線定理可以證明兩線的平行關係也可找到線段的數量關係．
4．達標反饋
（1）填空題
①已知：梯形abcd中，ad∥bc，ae=ab，df=cd，若ad=10，bc=14，則ef= 11 ．
②鏈結△abc各邊中點所得的三角形周長為9cm，則△abc的周長為 18cm ．
③梯形中位線被它的兩條對角線分成三部分，長度比為2：3：2，中位線長為21cm，則它的兩底為 12cm，30cm ．
（2）證明題
①如圖所示，在△abc中，m是bc中點，an平分∠bac，bn⊥an，若ab=14，ac？=19，求證：mn=．
（提示：延長bn交ac於d，則ad=ab所以mn=cd=（ac-ab）=）
②如圖所示，e、f、g、h分別為凸四邊形abcd各邊的中點．
1°求證：四邊形efgh為平行四邊形．
2°當四邊形abcd滿足什麼條件時，四邊形efgh為矩形？為菱形？為正方形？
（提示？：鏈結ac，bd即可）
5．學習小結
（1）引導學生作知識總結：三角形、梯形中位線的概念，中位線定理的證明，同？時運用定理證明有關兩線平行及線段數量關係的問題．
（2）教師擴充套件：中點四邊形的一系列結論及推導是三角形中位線定理的典型應？用．
（三）延伸拓展
1．鏈結生活
你能將乙個三角形紙片剪成四個全等的小三角形嗎？
2．鞏固練習
（1）如圖所示，在△abc中，d、g分別為ab、ac上的點，且bd=cg，m、n分別？是bg、cd中點，過mn的直線交ab於p，交ac於q，求證：ap=aq．
（提示：取bc中點h，鏈結mh，nh，由中位線性質可知mh=cg，nh=bd，則mh=nh，所以∠？hmn=∠hnm，又因為∠apq=∠hnm，∠aqp=∠hmn，則∠apq=∠aqp，則ap=aq）
（2）如圖所示，△abc中，d是bc的中點，m是ad的中點，cp過點m交ab於p，求證：3ap=ab．
（提示：取cp中點q，鏈結dq，易證dq=ap=bp）
（3）已知：如圖所示，l為△abc外一直線，d、e、f分別是三邊的中點，aa1⊥l，ff1⊥l，dd1⊥l，ee1⊥l，a1，f1，d1，e1分別為垂足．
求證：aa1+ee1=ff1+dd1
（提示：作bb1⊥l於b1 cc1⊥l於c1，利用aa1+cc1=2ff1，aa1+bb1=2dd1）
（四）板書設計
27 3用推理方法研究四邊形 2 矩形和菱形
27.1 用推理方法研究四邊形 2 第2課時 一 本課目標 1 探索矩形和菱形的性質定理 判定定理的證明方法 2 利用矩形的性質定理證明直角三角形斜邊上中線等於斜邊的一半，並會運用該定理解決有關問題 二 教學流程 1 情境匯入 互動1師 生活中有哪些實物是矩形？菱形？生 黑板 門框 方桌面 本子 是...
用推理方法研究四邊形 3
教學目標 知識技能目標 1.掌握菱形的性質，會用推理的方法證明乙個四邊形是菱形 2.能運用菱形的性質定理和判定定理進行有關的證明和計算 過程性目標 經歷探索菱形有關性質與判定條件的過程，在直觀操作活動中發展學生的邏輯推理能力和主動 的習慣 教學重點 知識技能目標1 2 教學難點 經歷探索菱形有關性質...
27 3用推理方法研究四邊形 4 等腰梯形
第4課時 一 本課目標 1 掌握等腰梯形的性質定理 判定定理的證明方法 2 通過新增輔助線，把梯形的問題轉化成平行四邊形或三角形問題，使學生體會圖形變換的方法和轉化的思想 二 教學流程 1 情境匯入 請同學們動手操作，判斷 有一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 這句話對嗎？如果對，怎樣...