我們知道黎曼猜想最終對應於尤拉乘積公式，那麼不妨從最基本的數列開始，看看它還有沒有別的理解方式。
已知，令
我們將大於1的正整數的倒數代入其中，
當時，上式就變為了尤拉乘積公式，
假定為質數，則有，
注意，這裡的和上面趨於無窮大的並不是同乙個。
如果以代換，其中為實部大於1的複數，那麼上式就變為，
這就是黎曼zeta函式，
不難看到，這個轉變過程中有兩個關鍵位置，乙個是
為了進一步將所有的質數相乘進而取得任何乙個自然數，我們要求，這就得到了，
另乙個是將替換為，最終獲得黎曼形式。
現在我們主要觀察第乙個關鍵位置，
這個和中的不是同乙個，為了防止混淆，我們換乙個字母來表示（），
那麼，這時候應當有的上限，作為有限項和的描述，且擴充套件到實數域。
這相當於，我們先獲取乙個關於調和數列的有限項和表示，暫時不考慮它的無限性。再看，
對比，得到
那麼，而，
此時有，
或寫作，
也就是得到了關於前個自然數的調和數列與前個自然數的和之間的比值和全體質數之間的關係。
下面開始分析這個表示式，
因為我們可以將所有質數的乘積作為乙個單位來使用，為了簡化下面的運算，我們令大寫
同時簡化關於的求和，寫作
但要注意，，是乙個整體，它並不符合的運算模式。
則可以寫作
帶入,那麼它的極限形式為，
對比和的兩種情況，
我們知道當趨向正無窮，則也趨向正無窮，右側
則那麼，對應的，
極限形式為，
也就是說，對於任意實數，
這意味著，的虛部不影響函式的零點。
再模擬和兩種情況，
同理可知，如果為零點，則對於所有實數， 為零點。
我們知道，
也就是說，即當
得到四個zeta函式的關係
已知則必有，
由上述論證可知，
合併兩種情況，關於的零點表示式為，
其中k為非零正整數，則關於黎曼zeta函式的零點表示式為，
即黎曼函式的零點，除了在上的平凡零點之外，非平凡零點都在上。由此，黎曼猜想得證。
能夠實現這個證明的實質是推遲向極限進發的時刻。
有限項的數列很容易就可以擴充套件到無限項，但是什麼時候擴充套件才是最關鍵的。因為如果較早的擴充套件，那麼一些內在關係就可能被掩蓋。只有在最終步驟之前才擴充套件到無限，才能避免直接處理無限出現的困難，由此也就不用太深入的進入到緻密的複數域了。
另外，將所有的質數的乘積作為乙個整體來理解，也是以符號形式，避免細節運算的一種合適的方法。
zeta函式，關注的是質數。因為我們不知道質數到底是如何分布的，那麼就得想出各種方法，讓質數的分布能體現出來。
因為任何乙個自然數都有關於質數的唯一分解，那麼想辦法把所有的質數都乘起來，我們就可能獲得有關質數和自然數的對應關係的方程。
自然數的唯一分解要求乙個或者若干個質數的一次或者若干次冪出現，那麼現有的關於質數多次冪的和的表示式，最簡單的就是
也就是把a替換為質數p，則能夠出現，
也就是質數p的n個冪次的和。
而如果把這些和相乘，則會出現各種不同的質數p的各種不同的冪次之間的混合乘積，結果正是所有自然數的總和。但是，沒有比較就沒法分析。幸好這個數列和還可以寫為
形式。那麼，我們就有了以所有的質數來描繪所有的自然數的兩種方式，一種是普通的累加和，一種是倒數的累加和。通過分析這兩者的關係，就能看到一些關於質數的性質。
能夠產生這樣的效果的表示式，最簡單的為，
也就是左邊的形式（已經換成），
恰好包含了普通累加和產生的條件，配合右邊的倒數累加和，我們就可以得到所有質數的乘積同兩種累加和之間的關係。
也就是說，所有質數的乘積可以通過這種方式被提取出來。簡寫為，
這裡大寫的，就是所有質數的乘積。
表示式仍然是關於有限的自然數項（或者其倒數）的和，同時它也是無限多（全部）質數的乘積。需要指出的是，任何時候將換成的若干次冪，生成的自然數，也會帶有同樣的冪次。這相當於一對稱性，即守恆關係。
這個表示式有何種性質呢？右邊的展開式很複雜，但是左邊只是乙個無限大的數的有限次冪。
雖然是無限大的數，但是是特別的。考慮所有的週期性震動，每個震動都是乙個基本週期的反覆體現，如果把週期長度用自然數表示，那麼所有的最小正週期的乘積就是大寫。這也等價於所有的週期長度都是的倒數的整數倍。
換句話說，是所有震動的共同基頻率。它顯然是無限的，使用計算手段獲取它的數值得到的結果是增長的，但它本身卻並不增長，所以也不需要寫為極限形式。
由此兩個數列關係的極限形式可以寫作，
顯然當c趨向無窮大，的高次冪倒數趨向於0，這從等式的右邊也可以看出來。共同頻率的存在，使得共同頻率的任意高次都會產生全域性影響，這體現為給加次冪的時候，自然數的累加或者倒數和也會受到影響。
用標準的極限語言來寫，
但對於s為複數（包括實數）的時候，這種增加可能不只是指數性的影響每乙個週期，也可能造成所有週期之和出現特別的情況。
比如說當s等於2的時候，
這時所有的週期都變成平方倒數形式，這個和以復分析方法計算得到的值為0（黎曼計算的結果）。不僅僅是2，而是，都有這種效果（這是顯然的）。不僅如此，，也都有這種效果。這時因為
乘以任意
結果都是0。
不僅可以，也可以，因為這只是對應於p的相同結構下的不同數值。黎曼猜想的意義首先在於黎曼zeta函式，
所闡釋的原理。這個原理指出，自然界中震動的最小正週期的變化，將不僅僅引發特定每個週期的變化，同時還會改變所有週期疊加的結果。而在最小正週期為
的時候，這個結果為0（黎曼函式的零點）。換句話說，對於有限系統，可以代表乙個很大但無須無限大的值，而如果有另乙個系統的頻率為這個頻率的偶數次方或者偶數次開方，那麼另乙個系統在所代表的系統中，每乙個震動作為基頻率的時候，其整體影響為0（這需要更進一步的解釋，但這必在相應理論完成之後）。
如果說普通複數描述了乙個決定的系統，那麼，
則描述了不同層次系統之間的關係。它是相鄰兩個系統之間的橋梁。可以通過這個方程，以及函式零點，實現系統之間的跨越。
也就是說，使得兩個相同系統之間出現彼此可見的可能性被認定。具體而言, 描述了物質世界的極限頻率為，而黎曼zeta函式描述的零點可以幫助你在乙個較低的頻率上穿出頻率上界；也就是在較低的頻率發現高頻的世界。通過測量兩個層次上的p即可知道當前世界的極限密度。
另外，觀察虛數單位的展開式，
其中的所有取值皆為偶數，這些零點，正是虛數單位所在的位置；在電磁學中，對應於光速，所以在物理實相中，光速既為兩層世界之間的通道。
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