3.7 《圓》的相關知識拓展（一）
幾何a級概念：（要求深刻理解、熟練運用、主要用於幾何證明）
幾何b級概念：（要求理解、會講、會用，主要用於填空和選擇題）
一、基本概念：圓的幾何定義和集合定義、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高、三角形的外接圓、三角形的外心、三角形的內切圓、 三角形的內心、 圓心角、圓周角、 弦切角、 圓的切線、 圓的割線、 兩圓的內公切線、 兩圓的外公切線、 兩圓的內（外）、公切線長、 正多邊形、 正多邊形的中心、 正多邊形的半徑、 正多邊形的邊心距、 正多邊形的中心角.
二、定理：
1．不在一直線上的三個點確定乙個圓.
2．任何正多邊形都有乙個外接圓和乙個內切圓，這兩個圓是同心圓.
3．正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形.
三、公式：
1.有關的計算：（1）圓的周長c=2πr；（2）弧長l=；（3）圓的面積s=πr2.（4）扇形面積s扇形 =；（5）弓形面積s弓形 =扇形面積saob±δaob的面積.（如圖）
2.圓柱與圓錐的側面展開圖：
（1）圓柱的側面積：s圓柱側 =2πrh； (r:底面半徑；h:圓柱高)
（2）圓錐的側面積：s圓錐側 =. （l=2πr，r是圓錐母線長；r是底面半徑）
四、常識：
1． 圓是軸對稱和中心對稱圖形.
2． 圓心角的度數等於它所對弧的度數.
3． 三角形的外心兩邊中垂線的交點三角形的外接圓的圓心；
三角形的內心兩內角平分線的交點三角形的內切圓的圓心.
4． 直線與圓的位置關係：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）
直線與圓相交 d＜r ； 直線與圓相切 d=r ； 直線與圓相離 d＞r.
5． 圓與圓的位置關係：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中r、r表示兩個圓的半徑且r≥r）
兩圓外離 d＞r+r； 兩圓外切 d=r+r； 兩圓相交 r-r＜d＜r+r；
兩圓內切 d=r-r； 兩圓內含 d＜r-r.
6．證直線與圓相切，常利用：「已知交點連半徑證垂直」和「不知交點作垂直證半徑」 的方法加輔助線.
7．關於圓的常見輔助線：
直線和圓的位置關係習題證明方法
例1 如圖，ab是⊙o的直徑，ca，cd與⊙o相切，a，d為切點，de⊥ab，e為垂足，鏈結bc交de於f.
求證：df=ef
說明：用比例的方法證明線段相等a=b.
a=b.
②∵a2=ef, b2=efa2=b2, a=b.
a=b.
例2 如圖，△abc內接於⊙o，be⊥ac於e，cf⊥ab於f.
求證：oa⊥ef.
說明：證明兩線垂直常用的方法有：證兩角互餘；轉化證平行；證三角形與直角三角形相似（或全等）；利用等腰三角形三線合一；利用菱形對角線互相垂直等等
如果在證明三角形相似中，運用三角函式或四點共圓的知識，證明過程可簡化.
例3： 已知：如圖，pa與⊙相切，pcb為割線，e為ab中點，pe交ac於f.
求證：說明：（1）證明兩條線段的平方比等於另兩條線段的比
通法：特殊：.（有多種形式）
（2）通過作平行線完整圖形，是傳遞比的重要手段，同學們要熟練掌握.
例 4：如圖，ab是⊙o的直徑，p是ab延長線上一點，pc與⊙o切於c點，ad⊥pc於d，交⊙o於e.
求證：dc·bp=pc·de.
說明：（1）在求證等積式比例式時，比的傳遞往往是難點.比的傳遞常用方法有：
①平行傳遞；②三角形相似傳遞；③更比後傳遞；④等線段代換傳遞；
⑤合比、等比後傳遞；⑥平方後傳遞；⑦變等積式傳遞；⑧完整圖形傳遞.
有的習題需使用兩種以上方法才能證出.
（2）在有直徑的習題中，要想到直徑所對的圓周角是直角；在有切線的習題中，連圓心和切點的半徑就是常見的輔助線.
例5 p是⊙o外一點，過p作⊙o切線pa，pb，a、b是切點，op與ab交於m，過m作弦cd，鏈結pc、pd.求證：∠opc=∠opd.
說明：（1）由證三角形相似求角等；中間量作介紹是求證兩角相等的常見方法.
（2）由圖形的特點出發是解決難題的重要方法，見到pa，pb與⊙o相切，首先想到po垂直平分ab，運用射影定理，證明三角形相似就不難解決了.
（3）在有切線的習題中，往往連圓心和切點的半徑就是常見的輔助線.
例6：如圖，p是⊙o外一點，過p作pa切⊙o於a點，連po交⊙o於b點，ac為弦，若∠p=∠bac，pa=15，pb=5.
求bc的長.
.說明：（1）幾何綜合計算題是運用垂徑定理、射影定理、圓中成比例線段定理、勾股定理、銳角三角函式、相似三角形、比例線段等知識三個或三個以上，並與代數結合求線段長、比例、面積及角度.
應注意在解題過程中要有必要的證明，知識的綜合運用與聯絡、輔助線的新增，計算的技巧及精確度.
（2）此題綜合性較強，且解題的途徑不明顯，需充分利用已知條件和圖形的特點求解.
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