第一章習題1 證明恒等式
[證明]
習題2 證明若，則
[證明] ，
又因為所有的指標都是啞指標，，所以，即
習題3 已知某一點的應力分量，，，不為零，而，試求過該點和z軸，與x軸夾角為的面上的正應力和剪應力。
[解] 如圖1.1，過該點和z軸，與x軸夾角為的面的法線，其與x軸，y軸和z軸的方向余弦分別為cosα，sinα，0，則由斜面應力公式的分量表示式，，可求得該面上的應力為
由斜面正應力表示式，
可求得正應力為
剪應力為
習題4 如已知物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法線方向一致分布載荷。試寫出其邊界條件。
[解] 物體表面外表面法線的方向余弦為
帶入應力邊界條件，，得
習題5 已知某點以直角座標表示的應力分量為，，，，，，試求該點以柱座標表示的應力分量。
[解] 如圖1.2，兩個座標軸之間的方向余弦如下表所示：
由應力分量轉換公式，求得
利用三角公式可將上面的式子改寫為
習題6 一點的應力狀態由應力張量給定，式中，，，為常數，是某應力值，求常數，，，以使八面體面上的應力張量為零
[解] 由斜面應力公式的分量表示式，，知八面體面上應力張量為零需滿足如下方程組：
解得習題7 證明（1）應力的三個主方向互相垂直；（2）三個主應力，，必為實根
[證明]
（1）設任意兩個不同的主應力為、，對應的主方向為、。根據主應力定義有：
， 將以上兩式分別點乘和再相減，得
是對稱應力張量，上式可改寫為所以應力的三個主方向互相垂直
（2）設任意兩個不同的主應力為、，對應的主方向為、
若為複數，則為其共軛複數，從而方向余弦、互為共軛
與主方向相互垂直矛盾
所以三個主應力必為實數
習題8 證明球形應力張量在任意斜面上的剪應力為零，且正應力為
[證明] 球形應力張量，設任意斜面的方向余弦為
由斜面應力公式 ，得
由斜面正應力公式 ，得
由斜面剪應力公式，得
習題9 求應力偏量張量的不變數
[解] 應力張量可分解為球形應力張量和應力偏量張量，
應力偏量張量，其主應力方程為，即
上述方程存在非零解的必要條件是係數行列式為零，即
得到關於的三次代數方程，
其中，和分別為應力偏量張量的第
一、第二、第三不變數
設，和為應力偏量張量的三個主值，則
習題10 設為二階對稱張量，證明由匯出的應力一定滿足無體力的平衡方程
[證明] 又關於，反對稱，關於，對稱
，即滿足無體力的平衡方程，
習題11 已知直角座標系中各點的應力張量，試求體積力分量
[解] 根據平衡微分方程，得
得體積力分量為
習題12 如圖1.3所示的三角形截面水壩，材料的比重為，承受著比重為液體的壓力，已求得應力解為，試根據直邊及斜邊上的表面條件確定係數,,和
[解] 如圖所示，建立平面直角座標系
水壩左側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
水壩右側表面法線的方向余弦為，受外力的作用根據應力邊界條件，，在處
由上述兩個方程組，得
習題13 如圖1.4所示的三角形截面水壩，其左側作用著比重為的液體，右側為自由表面，試寫出以應力分量表示的邊界條件。
[解] 如圖所示，建立平面直角座標系
水壩左側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
水壩右側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
第二章習題1 初始時刻位於的質點在某時刻的位置為，其中，求格林應變張量的分量。
[解] 採用拉格朗日描述法，，得
由格林應變張量，，，得
習題2 證明是二階對稱張量的分量，而不是任何張量的分量
[證明] （1） ，顯然可得其對稱性
對於笛卡爾直角座標系和，各座標軸之間的方向余弦如下表
由彈性力學理論知，，恰與張量定義相吻合，是二階對稱張量的分量
（2）設有一剪應變張量，其分量取任一向量，則
，但不能縮並為，與假設是張量矛盾。根據張量的商判則，不是任何張量的分量。
習題3 為求平面應變分量、、，將電阻應變片分別貼在方向，與成和方向上，測得應變值以、、表示，試求、、
[解] 平面應變狀態下，沿方向，與成和方向上的方向余弦分別為
根據方向線元的工程正應變公式，，得求得
習題4 假設體積不可壓縮位移與很小，，在一定區域內已知，其中，，為常數，求。
[解] 題目條件適用小變形，，得
體積不可壓縮，
即習題6 證明由下式確定的應變恆滿足變形協調方程，。
[證明]
對於單值連續位移場，並存在三階以上連續偏導數時，偏導數的值與求導順序無關
關於，對稱；關於，對稱
對於排列符號關於，反對稱；關於，反對稱
即應變恆滿足變形協調方程，
習題7 假定物體被加熱至定常溫度場時，應變分量為；，其中為線膨脹係數，試根據應變協調方程確定溫度場的函式形式。
解由應變協調方程，，得
又定常溫度場應滿足拉普拉斯方程，
故的函式形式中不應含有高於或等於2次的項
溫度場的函式形式為其中，，和均為常數。
習題8 試匯出平面應變軸對稱情況下的應變協調方程
[解] 軸對稱平面應變情況下，應變分量為
因此，平面應變軸對稱情況下的應變協調方程為
習題9 在某一平面軸對稱變形情況下，軸向應變為常數，試確定其餘兩個應變分量和的表示式（材料不可壓縮）
[解] 平面軸對稱情況下，變形協調條件為：
當材料不可壓縮時，體積應變為零，即，代入上式，得
解得，式中，c是右邊界條件確定的常數
習題10 試問什麼型別的曲面在均勻變形後會變成球面。
[解] 均勻變形狀態可表示為
其中，為常量
設均勻變形前的座標為，則變形後的座標為
曲面在均勻變形後變成球面，即
略去剛體位移，當、、為主軸時，變形前的座標滿足
變形前半軸為，，的橢球面在均勻變形後會變成球面。
特別的，當時，表示球面均勻變形後仍為球面。
習題11 若物體內各點的位移分量為，其中，均是常數。
試證明，物體內所有各點的應變分量為常數（這種變形狀態稱為均勻變形），並分別證明在均勻變形後的物體內有：
（1）直線在變形後仍然是直線；（2）相同方向的直線按同樣的比例伸縮；
[證明] 由位移分量求得物體內各點的應變分量為（1）
即物體內所有各點的應變分量為常數（均勻變形）
（1）若物體內任意一點，變形後變為座標和之間的關係為
（2） 變形前，直線上的點，和滿足（3）將式（3）代入式（2），並整理，得（4）
式（4）表明直線在均勻變形後仍然是直線
（2）變形前連線兩點，的直線長度為，方向余弦為、、，變形後的兩對應點，的直線長度為，方向余弦為、、（圖2.1）
將式（2）代入上式，得5）
將上式兩端除以，得7）
而（6） 對於方向相同的直線，具有相等的方向余弦、、，在均勻變形情況下，由式（6）和（7），知為常數。即相同方向的直線按同樣的比例伸縮；
第三章彈性本構關係和彈性問題的求解習題
習題1、試利用各向異性理想彈性體的廣義虎克定律匯出：在什麼條件下，理想彈性體中的主應力方向和主應變方向相重合？
解：各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為：
（a)當時，三個互相垂直的應力方向為主應力方向。當時，三個互相垂直的應變方向為主應變方向。在主應變方向上，剪應力分量為：
（b） 若使，則式中，，具有非零解的條件為
（c） 上式即為x，y，z軸同時為應力主軸和應變主軸的條件。如果材料效能對稱於乙個平面，如oxy平面，則，而且，此時（c）式恆等於零。在此情況下，當存在以x，y，z軸為主方向的應變狀態時，其對應的剪應力分量將成為 （d）
若應變分量之間滿足，則此點的應變主方向和應力主方向重合。如果材料效能對稱於oxy，oyz，ozx三個平面，則有，此時（d）式總是滿足的。由此可知，當x，y，z軸為應變的主方向時，也必定為應力的主方向。
但是，當應變主方向和正交軸不重合時，一般它與應力的主方向是不重合的。對於各向同性彈性體，不需要任何補充條件，應力主方向和應變主方向總是重合的。
習題2、對於各向同性彈性體，試匯出正應力之差和正應變之差的關係式。且進一步證明：當其主應力的大小順序為時，其主應變的排列順序為。
解：各向同性條件下的廣義虎克定律為
將上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分別得：即
證明：當其主應力的大小順序為時，其主應變的排列順序為。 且，利用上述正應力之差和正應變之差的關係式有。
習題3、將某一小的物體放入高壓容器內，在靜水壓力作用下，測得體積應變，若泊松比=0.3，試求該物體的彈性模量。
解：設為第一應力不變數，而，
據各向同性條件下的廣義虎克定律為有：，其中體積應變，故有
。 習題4、在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力，且橫向變形完全被限制住（如圖所示）。試求應力與應變的比值（稱為名義楊氏模量，以表示）。
解：設柱體的軸線z軸，。因為橫向變形被限制，所以。據各向同性條件下的廣義虎克定律
得：，，將此兩式相減得：
，而泊松比的理論取值範圍為，故，將其代入廣義虎克定律得： 從而
，得解。
習題5、在某點測得正應變的同時，也測得與它成60。和90。方向上的正應變，其值分別為，，，試求該點的主應變、最大剪應變和主應力（，）。
解：設該點的x，y軸向的正應變分別為，，剪應變為。任意方向（為與x軸正向的夾角）上的正應變為：，
所以，，，解由此三式組成的方程組得該點的，和分別為：,。
（1）計算該點的主應變：由、 、和得該點的主應變為：
，。（2）該點的最大剪應變。
（3）計算該點的主應力：現、、，據向同性條件下的廣義虎克定律得 ，即，所以
將、、、及、代入上面三式得：,,。
習題6、根據彈性應變能理論的應變能公式，匯出材料力學中桿件拉伸、彎曲及圓軸扭轉的應變能公式分別為： 。
解：（1）桿件拉伸的應變能公式推導：設桿件橫截面積為，彈性模量為，如圖建立座標系。
桿件為單向拉伸，只存在軸向的伸長或縮短，軸向纖維間無剪下變形，即。同時軸向纖維間無相互作用力，即。據彈性應變能理論的應變能公式（其餘分量產生的應變能為零）。
材料固體力學答案1 6章
第一章習題1 證明恒等式 證明 習題2 證明若，則 證明 又因為所有的指標都是啞指標，所以，即 習題3 已知某一點的應力分量，不為零，而，試求過該點和z軸，與x軸夾角為的面上的正應力和剪應力。解 如圖1.1，過該點和z軸，與x軸夾角為的面的法線，其與x軸，y軸和z軸的方向余弦分別為cos sin 0...
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