第六章塑性平面應變問題和極限分析
1. 設具有角形深切口的厚板，其滑移線場構造如圖6.1(a)，試求此時該板所能承受的彎矩值。
圖6.1(a)
解：由於形狀對稱，滑移線場對稱，故可只取右半部分進行分析。
厚板的下部是均勻應力區，在邊上，，，根據力矩的方向，應取負值，即
其應力狀態和線的方向如6.1（b）所示。
由於厚板的上部也是均勻應力區，在邊上，，，根據力矩的方向，應取正值，即
其應力狀態和線方向如圖6.1（c）所示。
正方形是均勻應力區，根據對稱性知道沿著垂直截面將只作用有拉應力，其數值及應力間斷點的位置由下列平衡方程求得：
由此得出
由於是同一根線，故
取邊上的單元體進行分析，如圖6.1（d）所示得：
令則可得
2. 設兩邊有對稱角形深切口的厚板，角形深切口處的高度為，試求在極限狀態時，該板所能承受的彎矩值。
解：此題滑移線場與上一題（a）圖中上部的滑移線場一樣，因此在極限狀態下應力為
故由此應力所承受的彎矩為
令則得3. 已知具有角形切口的板條，受拉應力，試求此板條的極限載荷。
圖6.3(a)
解：作滑移線場如圖6.3(b)所示，由於對稱，只考慮板條的一半。在和中是均勻應力狀態。在中
平均應力
應力狀態和滑移線的方向如圖6.3(b)所示。
圖6.3(b圖6.3(c)
在中在邊（圖6.3(c)）上，各應力值和線與軸的夾角為
應力狀態和滑移線的方向如圖6.3(c)所示。由於沿同一條線其應相等，故
由此得在長度上
4. 已知削平的楔體，兩側面受外壓的作用，頂面受壓力的作用，如圖6.4(a)所示，試按如下兩種情況求出極限載荷的值。
(ab)
圖6.4(a圖6.4(b)
解：第一種解法：
圖6.4(c圖6.4(d)
在邊，受力狀態如圖6.4(c)所示。
在邊，受力狀態如圖6.4(d)所示。
沿是同一條線：
故討論：① 當時，，它表示不論多大，都不能屈服，即楔體處於靜水壓應力狀態。
② 當時，能達到屈服，極限載荷僅與之差有關。
第二種解法：如圖6-4（e）所示
在邊，有
在邊，有，
因為沿同一條線，故有
化簡後得
結果與第一種解法相同。
5. 已知楔形模如圖所示，板條在楔形模中受擠壓，如初始厚度為，通過模孔後厚度被減小到，若已知縮減比為，式中為收縮孔的收縮角，試求此時作用於模上的壓力值以及擠壓應力的表達值。
解：設作用於模上的正壓應力為，由（c）可以看出
1）式中是垂直於平面的靜水壓力。根據方程可以找出。由於（圖b）而沿線時，旋轉的角為正，故有
因此2）
由（1）式和（2）式得
作用在衝杆上的均勻壓力可由下式給出
或6. 簡支圓板的半徑為，受半徑為的軸對稱均布載荷作用，如圖6.6(a)所示，試按tresca屈服條件求極限載荷的值。
解：圓板的平衡方程為
當時，，對應於tresca屈服條件的點（如圖6.6(b)），
圖6.6(b)
當時，，對應於tresca屈服條件的點，圓板對應圖上的線，即，故平衡方程可寫為
在處，存在如下平衡關係
即因此平衡方程為
積分上式後，得
或在，所以
因此有在處
故這一區域的平衡方程為
積分上式後，得
或根據處的連續條件，可得
故在處，當故
最後得此式即為所求的極限載荷。
7. 簡支圓板的半徑為，在圓板中心受集中力的作用。如圖6.7，試按tresca屈服條件求極限載荷的值。
圖6.7
解： 令則由上題極限載荷的表示式可得
將上式兩邊取極限，則得
故得8. 已知半徑為的簡支圓板受圖6.8所示的載荷作用，試按tresca屈服條件求出極限載荷與塑性彎矩之間的關係。
解：平衡方程為
當時代入平衡方程並積分後，得
()在處，為有限值，故得
故在範圍內
當時代入平衡方程後，並積分，得
利用值在處的連續條件，即
得出於是在範圍內
由於在處， 故即
9. 在簡支圓板上作用總量為，但按半徑為的圓周線分布的集中載荷，如圖6.9，試求此板的極限載荷。
圖6.9
解：在處，，代入平衡方程後，積分可得
由於在處，為有限值，故。
在處，，代入平衡方程後，積分可得
根據在處的連續條件，即得故
在處，應有
即由此得
10. 已知簡支懸臂環板受軸對稱均布載荷的作用，如環板內半徑為，外半徑為，試用tresca屈服條件求此板的極限載荷及撓曲速度方程。
圖6.10
解： 在環板中知
故由彈性解知
故由tresca屈服條件應有
代入平衡方程，積分後得
由邊界條件，在處，可得
故由邊界條件，在處，，可得
最後得由流動法則知，在tresca屈服條件的邊上應有
即解此微分方程後，可得
在處，，可得
故 ，即
在處，即
因此得最後得
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