1、 概念
1）彈性與塑性
彈性：物體在引起形變的外力被除去以後能恢復原形的這一性質。
塑性：物體在引起形變的外力被除去以後有部分變形不能恢復殘留下來的這一性質。
2）應力和應力狀態
應力：受力物體某一截面上一點處的內力集度。
應力狀態：某點處的9個應力分量組成的新的二階張量。
3）球張量和偏量
球張量：球形應力張量，即，其中
偏量：偏斜應力張量，即，其中
4）轉動張量：表示剛體位移部分，即
5）應變張量：表示純變形部分，即
6）應變協調條件：物體變形後必須仍保持其整體性和連續性，因此各應變分量之間，必須要有一定得關係，即應變協調條件。。
7）聖維南原理：如作用在彈性體表面上某一不大的區域性面積上的力系，為作用在同一區域性面積上的另一靜力等效力所代替，則荷載的這種重新分布，只造離荷載作用處很近的地方，才使應力的分布發生顯著變化，在離荷載較遠處只有極小的影響。
8）屈服函式：在一般情況下，屈服條件與所考慮的應力狀態有關，或者說，屈服條件是改點6個獨立的應力分量的函式，即為，即為屈服函式。
9）不可壓縮：對金屬材料而言，在塑性狀態，物體體積變形為零。
10）穩定性假設：即德魯克公社，包括：1.在載入過程中，應力增量所做的功恒為正；2.在載入與解除安裝的整個迴圈中，應力增量所完成的淨功恒為非負。
11）彈塑性力學的基本方程：包括平衡方程、幾何方程和本構方程。
12）邊界條件：邊界條件可能有三種情況：1.
在邊界上給定面力稱為應力邊界條件；2.在邊界上給定位移稱為位移邊界條件；3. 在邊界上部分給定面力，部分給定位移稱為混合邊界條件。
13）滑移線：最大剪力線。
14）極限荷載：荷載逐漸按比例增加時，結構在多處形成塑性鉸後，當結構變為機構時，結構喪失承載能力，此時相應的荷載稱為極限荷載。
2、已知物體內一點的六個應力分量為：
試求法線方向余弦為，，的微分面上的總應力、正應力和剪應力。
提示：應力向量的三個分量為
，，總應力。
正應力。
剪應力。
3、某點的應力張量為
且已知經過該點的某一平面上的應力向量為零，求及該平面的單位法向向量。
提示：設要求的單位法向向量為，則按題意有
即a) 上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得
上式有兩個解：或。若，則代入式(a)中的三個式子，可得，這是不可能的。所以必有。將代入式(a)，利用，可求得
。4、己知一點處的應力張量為
試求該點的最大主應力及其主方向。
提示：由題意知該點處於平面應力狀態，且知：σx=12×103 σy=10×103 τxy=6×103，且該點的主應力可由下式求得：
則顯然：
σ1 與x軸正向的夾角為：（按材力公式計算）
顯然2θ為第ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376°
則：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）
5、證明下列等式：
（1）：j2=i23）：；
證明（1）：等式的右端為：
故左端=右端
證明（3）：
右端=6、設己知下列位移，試求指定點的應變狀態。
（1）： 在（0，2）點處；
（2）： 在（1，3，4）點處
解（1在（0，2）點處，該點的應變分量為:；；
寫成張量形式則為：；
解（2）：將己知位移分量函式式代入幾何方程求出應變分量函式式，然後將己知點座標（1，3，4）代入應變分量函式式。求出設點的應變狀態。
；；；用張量形式表示則為：
7、試說明下列應變狀態是否可能（式中a、b、c均為常數）
(1):
(2):
(3):
解（1）：由應變張量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0 而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y座標的函式，所以這是乙個平面應變問題。
將εx、εy、εxy代入二維情況下，應變分量所應滿足的變形協調條件知：
也即：2c+0=2c 知滿足。
所以說，該應變狀態是可能的。
解（2）：將己知各應變分量代入空間問題所應滿足的變形協調方程得：
1）得： 不滿足，因此該應變狀態是不可能的。
解（3）：將己知應變分量代入上（1）式得：
不滿足，因此該點的應變狀態是不可能的。
8、如圖所示，三角形水壩，已求得應力分量為
，，，，和分別是壩身和水的比重。求常數、、、，使上述應力分量滿足邊界條件。
提示：在的邊界上，有邊界條件
，將題中的應力分量代入上面兩式，可解得：，。
在左側的斜面上，，外法向方向余弦為
，，把應力分量和上面得到的有關結果代入邊界條件，可解得：，。
9、已知三個主應力為、和，在主座標系中取正八面體，它的每個面都為正三角形，其法向單位向量為，，求八面體各個面上的正應力和剪應力。
提示：，
。10、證明：對線性各向同性的彈性體來說，應力主方向與應變主方向是一致的。非各向同性體是否具有這樣的性質？試舉例說明。
提示：對各向同性材料，設是應力的主方向，是相應的主應力，則
1) 各向同性的胡克定律是
將上式代入式(1)，得，即
由此可知，也是應變的主方向。類似地可證，應變主方向也是應力主方向。因此，應力主方向和應變主方向一致。
下面假定材料性質具有乙個對稱面。設所取的座標系是應變主座標系，且材料性質關於平面對稱。因為，所以從式(5.14)得
若應變主座標系也是應力主座標系，則，即
上式只能在特殊的應變狀態下才能成立。總之，對各向異性材料，應力主方向和應變主方向不一定相同。
11、對各向同性材料，試寫出應力不變數和應變不變數之間的關係。
解：由式(5.17)可得主應力和主應變之間的關係
1) 從上式得
2)3）4)式(2)、(3)、(4)就是用應變不變數表示應力不變數的關係。也容易得到用應力不變數表示應變不變數的關係。
12、懸壁梁受均布載荷作用，求應力分量。提示：假定和無關。
解：假定和無關，即，於是有
積分兩次，得
1) 其中和是的待定函式。將應力函式代入雙調和方程，得
上式對任意成立的充要條件是
2) 解上面的前兩式，得，
中略去了不影響應力的常數項。由式(2)中的第三個方程，得
所以，有
在上式中略去了不影響應力的常數項和線性項。將求出的函式、和代入式(1)，得
應力分量為
本問題的邊界條件是：
3)4)
5)6)
由條件(5)可求得
，，由條件(3)和(4)可以求得
，，，將求得的常數代入應力分量表示式，得
7) 由條件(6)中的第乙個條件可以求得，由(6)中的第二個條件可以求得
最後的應力分量為
其中，是截面的慣性矩。
13、簡支梁只受重力作用，梁的密度為，重力加速度為，，求應力分量。提示：假定和無關。
解：假設
即經過和上題類似的運算，可以得到和上題相同的應力函式
應力分量為
由對稱性可知，，所以，由此得
，，在梁的任意截面上，方向的合力為零，即
故有，利用上面求得的結果，應力分量的表示式簡化為
在梁的端部有條件
在梁的上下表面上有條件
，將應力分量表示式代入上述條件，可以求得
，，，最後的應力分量為
，。14、三角形懸壁梁只受重力作用，梁的密度為，求應力分量。提示：設該問題有代數多項式解，用量綱分析法確定應力函式的冪次
解：應力與外載荷(即體力)成比例，所以任意乙個應力分量都可以表示成如下形式
應力的量綱是[力][長度]－2，的量綱是[力][長度]－3，和的量綱是[長度]，是無量綱的，所以若是多項式，則必是乙個和的齊一次表示式。應力函式應是比高兩次的多項式，故有
應力分量的表示式為
在的邊界上，有
，由上面兩式得
在斜面上，有
，，，斜面上的邊界條件為
由此得，故，。
把求出的常數代回應力分量的表示式，得
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