專題二空間向量
第一節什麼是空間向量
教學過程
（一）簡單回顧平面向量
（二）引入空間向量，並準確理解空間向量
1．空間向量的一般運算
1）空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量
注：向量一般用有向線段表示；同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
2）空間向量的運算
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下：
；； 運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
數乘結合律：
3）平行六面體：
平行四邊形abcd平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，並記作：abcd－. 它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的稜.
4）共線向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.平行於記作.
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線.
共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.
推論：如果為經過已知點a且平行於已知非零向量的直線，那麼對於任意一點o，點p在直線上的充要條件是存在實數t滿足等式
……．其中向量叫做直線的方向向量.
在上取，則式可轉化為……， 兩式都稱為空間直線的向量表示式.
5）共面向量
向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行於或在內，那麼我們說向量平行於平面，記作：．通常我們把平行於同一平面的向量，叫做共面向量.
說明：空間任意的兩向量都是共面的.
共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在惟一實數使.
推論：空間一點位於平面內的充分必要條件是存在有序實數對，使……① 或對空間任一點，有……②
或……③
上面①式叫做平面的向量表示式.
6）空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個惟一的有序實陣列，使.
若三向量不共面，我們把叫做空間的乙個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的乙個基底.
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使
7)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.
8）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.
9）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即．
已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，
作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度．
10）空間向量數量積的性質：
（1）．（2）．（3）．
11）空間向量數量積運算律：
（1）．（2）（交換律）．
（3）（分配律）.
12）講解範例：
例1.已知線段在平面內，，線段，若，求間的距離.
例2．已知平行六面體中，，
，求的長.
例3．已知是邊長為的正三角形所在平面外一點，且，分別是，的中點，求異面直線與所成角的余弦值.
例4．如圖，長方體中，，為與的交點，
為與的交點，又，求長方體的高．
同步練習：
1．設，，且，求向量的模.
2．已知，，，，問實數取何值時與垂直.
3．若，且，求的值.
4．在稜長為1的正方體中，分別是中點，在稜上，，為的中點，
（1）求證：；
（2）求所成角的余弦；
（3）求的長
2．空間向量的座標運算
1）簡單回顧空間直角座標系的建立及點的座標表示
2）（1）若，，
則，，，
，（2）若，，則．
乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標.
（3）3）直線的方向向量及平面的法向量
（1）直線的方向向量：我們把直線上的向量以及與共線的向量叫做直線的方向向量
（2）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直於平面α，則稱這個向量垂直於平面α，記作，如果，那麼向量叫做平面α的法向量.
注：①若，則稱直線為平面的法線；
②平面的法向量就是法線的方向向量.
③給定平面的法向量及平面上一點的座標，可以確定乙個平面.
（3）在空間求平面的法向量的方法：
（）直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量.
（）待定係數法：建立空間直接座標系
①設平面的法向量為
②在平面內找兩個不共線的向量和
③建立方程組：
④解方程組，取其中的一組解即可.
第二節利用空間向量解決立體幾何問題
應用1：量的計算
1）計算角度大小
（1）求兩異面直線所成的角
點，直線，，直線，構成向量，，. 設直線與直線所成的角為，則，即或其補角為直線與所成的角.
例5. 如圖，已知直稜柱abc-a1b1c1，在中，ca=cb=1，，稜aa1=2，求異面直線ba1，cb1所成的角.
（2）求直線和平面所成的角
已知，為直線上任意兩點，為平面的法向量，則和平面所成的角為:
（1）當時，；
（2）當時，.
例6. 稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f分別為c1d1、b1c1的中點，
（1）求證：e、f、b、d共面；（略，不用做了）
（2）求點a1d與平面efbd所成的角的余弦值.
（3）求二面角
已知二面角，，分別為面，的法向量，則二面角的平面角的大小與兩個法向量所成的角相等或互補. 即或.
注:如何判斷二面角的平面角和法向量所成的角的關係？
通過觀察二面角銳角還是鈍角,再由法向量的成的角求之.
通過觀察法向量的方向,判斷法向量所成的角與二面角的平面角相等還是互補.
例7. 在四稜錐s-abcd中∠dab=∠abc=90°，側稜sa⊥底面ac，sa=ab=bc=1，ad=2，求二面角a-sd-c的余弦值的大小
2）計算空間距離
（1）求兩條異面直線的距離
已知兩條異面直線，，是與兩直線都垂直的向量,，則兩條異面直線的距離.
例8. 長方體abcd-a1b1c1d1中ab=2，ad=4，aa1=6，e是bc的中點，f是cc1的中點，建立空間座標系，求
（1）異面直線d1f與b1e所成角的余弦值；
（2）二面角d1-ae-d的余弦值；
（3）異面直線b1e與d1f的距離.
（2）求點到面的距離（注：線到面和麵到面的距離均可轉化為點到面的距離進行求解）
已知平面和點，且，，為平面的法向量，則點到平面的距離.
例9. 如圖，在四稜錐中，底面四邊長為1的菱形，,底面, ,為的中點，為的中點.
（1）證明：直線平面；
（2）求異面直線與所成角的大小；
（3）求點到平面的距離.
應用2：證明線與線、線與面和麵與面的平行與垂直關係（略）
第三節專題訓練
1．如右下圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中，已知ab= 4， ad =3， aa1= 2．e、f分別是線段ab、bc上的點，且eb= fb=1．
（1）求二面角c-de-c1的正切值；
（2）求直線ec1與fd1所成的余弦值．
2．如圖，三稜錐p—abc中， pc平面abc，pc=ac=2，ab=bc，d是pb上一點，且cd平面pab．
（1）求證：ab平面pcb；
（2）求異面直線ap與bc所成角的大小；
（3）求二面角c-pa-b的大小的余弦值．
3．在四稜錐中，底面是矩形，平面，，. 以的中點為球心、為直徑的球面交於點，交於點.
（1）求證：平面⊥平面
（2）求直線與平面所成的角的大小；
（3）求點到平面的距離.
4．如圖所示，已知在矩形abcd中，ab=1，bc=a（a>0），pa⊥平面ac，且pa=1．
（1）試建立適當的座標系，並寫出點p、b、d的座標；
（2）問當實數a在什麼範圍時，bc邊上能存在點q，
使得pq⊥qd？
（3）當bc邊上有且僅有乙個點q使得pq⊥qd時，
求二面角q-pd-a的大小．
5. 如題（19）圖，在中，，,、兩點分別在、上. 使，. 現將沿折成直二面角，求：
（1）異面直線與的距離；
（2）二面角的正切值.
知識點整理
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物流知識點整理
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