一．正整數a的p進製表示：
，其中且。而仍然為十進位制數字，簡記為。
二．整除
在數學競賽中如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所採用的字母也表示整數。
定義：設是給定的數，，若存在整數，使得則稱整除，記作，並稱是的乙個約數(因子)，稱是的乙個倍數，如果不存在上述，則稱不能整除記作。
由整除的定義，容易推出以下性質：
(1)若且，則(傳遞性質)；
(2)若且，則即為某一整數倍數的整數之集關於加、減運算封閉。若反覆運用這一性質，易知及，則對於任意的整數有。更一般，若都是的倍數，則。或著，則其中；
(3)若，則或者，或者，因此若且，則；
(4)互質，若，則；
(5)是質數，若，則能整除中的某乙個；特別地，若是質數，若，則；
(6)(帶餘除法)設為整數，，則存在整數和，使得，其中，並且和由上述條件唯一確定；整數被稱為被除得的(不完全)商，數稱為被除得的餘數。注意：共有種可能的取值：
0,1，……，。若，即為被整除的情形；
易知，帶餘除法中的商實際上為（不超過的最大整數），而帶餘除法的核心是關於餘數的不等式：。證明的基本手法是將分解為與乙個整數之積，在較為初級的問題中，這種數的分解常通過在一些代數式的分解中取特殊值而產生，下面兩個分解式在這類論證中應用很多。
若是正整數，則；
若是正奇數，則；（在上式中用代）
(7)如果在等式中取去某一項外，其餘各項均為的倍數，則這一項也是的倍數；
(8)n個連續整數中，有且只有乙個是n的倍數；
(9)任何n個連續的整數之積一定是n!的倍數，特別地，三個連續的正整數之積能被6整除；
三．數的性質
1．奇數、偶數有如下性質：
(1)奇數奇數=偶數，偶數偶數＝偶數，奇數偶數＝奇數，偶數偶數＝偶數，奇數偶數＝偶數，奇數奇數＝奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差仍為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數，奇數與偶數的和為奇數，和為偶數；
（2）奇數的平方都可以表示成的形式，偶數的平方可以表示為或的形式；
（3）任何乙個正整數，都可以寫成的形式，其中為負整數，為奇數。
（4）若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有乙個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；偶數的平方根若是整數，它必為偶數。
2．完全平方數及其性質
能表示為某整數的平方的數稱為完全平方數，簡稱平方數。平方數有以下性質與結論：
（1）平方數的個位數字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除餘1，即任何平方數被4除的餘數只有可能是0或1；
（3）奇數平方的十位數字是偶數；
（4）十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6；
（5）不能被3整除的數的平方被3除餘1，能被3整數的數的平方能被3整除。因而，平方數被9也合乎的餘數為0,1，4,7，且此平方數的各位數字的和被9除的餘數也只能是0,1，4,7；
（6）平方數的約數的個數為奇數；
（7）任何四個連續整數的乘積加1，必定是乙個平方數。
（8）設正整數之積是乙個正整數的次方冪（），若（）＝1，則都是整數的次方冪。
3.整數整除性的一些數碼特徵（即常見結論）
（1）若乙個整數的未位數字能被2（或5）整除，則這個數能被2（或5）整除，否則不能；
（2）乙個整數的數碼之和能被3（或9）整除，則這個數能被3（或9）整除，否則不能；
（3）若乙個整數的未兩位數字能被4（或25）整除，則這個數能被4（或25）整除，否則不能；
（4）若乙個整數的未三位數字能被8（或125）整除，則這個數能被8（或125）整除，否則不能；
（5）若乙個整數的奇位上的數碼之和與偶位上的數碼之和的差是11的倍數，則這個數能被11整除，否則不能。
4.質數與合數及其性質
1．正整數分為三類：（1）單位數1；（2）質數（素數）：乙個大於1的正整數，如果它的因數只有1和它本身，則稱為質（素）數；（3）如果乙個自然數包含有大於1而小於其本身的因子，則稱這個自然數為合數。
2．有關質（素）數的一些性質
（1）若，則的除1以外的最小正因數是乙個質（素）數。如果，則；
（2）若是質（素）數，為任一整數，則必有或（）＝1；
（3）設為個整數，為質（素）數，且，則必整除某個（）；
（4）（算術基本定理）任何乙個大於1的正整數，能唯一地表示成質（素）因數的乘積（不計較因數的排列順序）；
（5）任何大於1的整數能唯一地寫成的形式，其中為質（素）數（）。上式叫做整數的標準分解式；
（6）若的標準分解式為，的正因數的個數記為，則
四．最大公約數與最小公倍數
最大公約數與最小公倍數是數論中的乙個重要的概念，這裡我們主要討論兩個整數互素、最大公約數、最小公倍數等基本概念與性質。
定義1.（最大公約數）設不全為零，同時整除的整數（如）稱為它們的公約數。因為不全為零，故只有有限多個，我們將其中最大乙個稱為的最大公約數，用符號（）表示。
顯然，最大公約數是乙個正整數。
當（）＝1（即的公約數只有）時，我們稱與互素（互質）。這是數論中的非常重要的乙個概念。
同樣，如果對於多個（不全為零）的整數，可類似地定義它們的最大公約數（）。若（）＝1，則稱互素。請注意，此時不能推出兩兩互素；但反過來，若（）兩兩互素，則顯然有（）＝1。
由最大公約數的定義，我們不難得出最大公約數的一些簡單性質：例如任意改變的符號，不改變（）的值，即；（）可以交換，（）＝（）；（）作為的函式，以為週期，即對於任意的實數，有（）＝（）等等。為了更詳細地介紹最大公約數，我們給出一些常用的一些性質：
（1）設是不全為0的整數，則存在整數，使得；
（2）（裴蜀定理）兩個整數互素的充要條件是存在整數，使得；
事實上，條件的必要性是性質（1）的乙個特例。反過來，若有使等式成立，不妨設，則，故及，於是，即，從而。（不作要求）
（3）若，則，即的任何乙個公約數都是它們的最大公約數的約數；
（4）若，則；
（5）若，則，因此兩個不互素的整數，可以自然地產生一對互素的整數；
（6）若，則，也就是說，與乙個固定整數互素的整數集關於乘法封閉。並由此可以推出：若，對於有，進而有對有。
（7）設，若，則；
（8）設正整數之積是乙個正整數的次方冪（），若（）＝1，則都是整數的次方冪。一般地，設正整數之積是乙個正整數的次方冪（），若兩兩互素，則都是正整數的次方冪。
定義2.設是兩個非零整數，乙個同時為倍數的數稱為它們的公倍數，的公倍數有無窮多個，這其中最小的乙個稱為的最小公倍數，記作，對於多個非零實數，可類似地定義它們的最小公倍數［］。
最小公倍數主要有以下幾條性質：
（1）與的任一公倍數都是的倍數，對於多於兩個數的情形，類似結論也成立；
（2）兩個整數的最大公約數與最小公倍滿足：（但請注意，這只限於兩個整數的情形，對於多於兩個整數的情形，類似結論不成立）；
（3）若兩兩互素，則［］＝｜｜；
（4）若，且兩兩互素，則｜。
五．高斯函式
數論函式，稱為高斯函式，又稱取整函式. 它是數學競賽熱點之一.
定義一：對任意實數是不超過的最大整數，稱為的整數部分.與它相伴隨的是小數部分函式
由、的定義不難得到如下性質：
（1）的定義域為r，值域為z；的定義域為r，值域為
（2）對任意實數，都有.
（3）對任意實數，都有.
（4）是不減函式，即若則是以1為週期的週期函式
（5）.其中.
（6）；特別地，
（7），其中；一般有；特別地，
8），其中.
(9) 若，則請注意，此式雖然被寫成了無限的形式，但實際上對於固定的，必存在正整數，使得，因而，故，而且對於時，都有。因此，上式實際上是有限項的和。另外，此式也指出了乘數的標準分解式中，素因數的指數的計算方法。
六．同餘
定義1.（同餘）設，若，則稱和對模同餘，記作；若不然，則稱和對模不同餘，記作。當時，，則稱是對模的最小非負剩餘。
由帶餘除法可知，和對模同餘的充要條件是與被除得的餘數相同。對於固定的模，模的同余式與通常的等式有許多類似的性質：
性質1.的充要條件是也即。
性質2.同餘關係滿足以下規律：
（1）（反身性）； （2）（對稱性）若，則；
（3）（傳遞性）若，，則；
（4）（同余式相加）若，，則；
（5）（同余式相乘）若，，則；
反覆利用（4）（5），可以對多個兩個的（模相同的）同余式建立加、減和乘法的運算公式。特別地，由（5）易推出：若，為整數且，則；但是同余式的消去律一般並不成立，即從未必能推出，可是我們卻有以下結果：
（6）若，則，由此可以推出，若，則有，即在與互素時，可以在原同余式兩邊約去而不改變模（這一點再一次說明了互素的重要性）。
現在提及幾個與模相關的簡單而有用的性質：
（7）若，｜，則；
（8）若，，則；
（9）若，則，特別地，若兩兩互素時，則有；
性質3.若，則；；
性質4.設是係數全為整數的多項式，若，則。
這一性質在計算時特別有用：在計算大數字的式子時，可以改變成與它同餘的小的數字，使計算大大地簡化。
八．中國剩餘定理（不作要求）
設是兩兩互素的正整數，那麼對於任意整數，一次同餘方程組，必有解，且解可以寫為：
這裡，，以及滿足，（即為對模的逆）。
九．不定方程
1．不定方程問題的常見型別：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的個數（有限個還是無限個）。
2．解不定方程問題常用的解法：
（1）代數恒等變形：如因式分解、配方、換元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變數的範圍，進而求解；
（3）同餘法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變數的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；
（4）構造法：構造出符合要求的特解，或構造乙個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；
（5）無窮遞推法。
以下給出幾個關於特殊方程的求解定理：
（一）二元一次不定方程（組）
定義1.形如(不同時為零)的方程稱為二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是
方法與技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求乙個特解，從而寫出通解。當不定方程係數不大時，有時可以通過觀察法求得其解，即引入變數，逐漸減小係數，直到容易得其特解為止；
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