2013中考總結複習衝刺練： 座標系中的幾何問題
【前言】
前面六講我們研究了幾何綜合題及代數綜合題的各種方面，相信很多同學都已經掌握了。但是中考中，最難的問題往往都是幾何和代數混雜在一起的，一方面涉及函式，座標系，計算量很大，另一方面也有各種幾何圖形的性質體現。所以往往這類問題都會在最後兩道題出現，而且基本都是以多個小問構成。
此類問題也是失分最高的，往往起到拉開分數檔次的關鍵作用。作為想在中考數學當中拿高分甚至滿分的同學，這類問題一定要重視。此後的兩講我們分別從座標系中的幾何以及動態幾何中的函式兩個角度出發，去徹底攻克此類問題。
第一部分真題精講
【例1】2012，石景山，一模
已知：如圖1，等邊的邊長為，一邊在軸上且， 交軸於點，過點作∥交於點．
（1）直接寫出點的座標；
（2）若直線將四邊形的面積兩等分，求的值；
（3）如圖2，過點的拋物線與軸交於點，為線段上的乙個動點，過軸上一點作的垂線，垂足為，直線交軸於點，當點**段上運動時，現給出兩個結論：
① ②，其中有且只有乙個結論是正確的，請你判斷哪個結論正確，並證明．
【思路分析】 很多同學一看到這種題幹又長條件又多又複雜的代幾綜合壓軸題就覺得頭皮發麻，稍微看看不太會做就失去了攻克它的信心。在這種時候要慢慢將題目拆解，條分縷析提出每乙個條件，然後一步一步來。第一問不難，c點縱座標直接用tg60°來算，七分中的兩分就到手了。
第二問看似較難，但是實際上考生需要知道「過四邊形對角線交點的任意直線都將四邊形面積平分」這一定理就輕鬆解決了，這個定理的證明不難，有興趣同學可以自己證一下加深印象。由於efab還是乙個等腰梯形，所以對角線交點非常好算，四分到手。最後三分收起來有點麻煩，不過稍微認真點畫圖，不難猜出①式成立。
拋物線倒是好求，因為要證的是角度相等，所以大家應該想到全等或者相似三角形，過d做一條垂線就發現圖中有多個全等關係，下面就忘記拋物線吧，單獨將三角形拆出來當成乙個純粹的幾何題去證明就很簡單了。至此，一道看起來很難的壓軸大題的7分就成功落入囊中了。
【解析】解：（1）；．
（2）過點作於，交於點，取的中點．
∵是等邊三角形，．
∴ ．在中，．
∴．∴．
∵∥交於，．
∴． （就是四邊形對角線的中點，橫座標自然和c一樣，縱座標就是e的縱座標的一半）
∵直線將四邊形的面積兩等分．
∴直線必過點．
∴，∴（3）正確結論：①．
證明：可求得過的拋物線解析式為
∴．∵．
∴．由題意．又∵∴
∴≌∴，
∴過點作於∴∴
由題意可知∥∴∴
∴即：． （這一問點多圖雜，不行就直接另起乙個沒有拋物線干擾的圖）
【例2】2012，懷柔，一模
如圖,在平面直角座標系xoy中,拋物線與ｘ正半軸交於點a,與ｙ軸交於點b,過點b作x軸的平行線bc,交拋物線於點c,鏈結ac．現有兩動點p、q分別從o、c兩點同時出發,點p以每秒4個單位的速度沿oa向終點a移動,點q以每秒1個單位的速度沿cb向點b移動,點p停止運動時,點q也同時停止運動,線段oc,pq相交於點d,過點d作de∥oa,交ca於點e,射線qe交x軸於點f．設動點p,q移動的時間為t(單位:秒)
(1)求a,b,c三點的座標;
(2)當t為何值時,四邊形pqca為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當0＜t＜時,△pqf的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;
(4)當t時,△pqf為等腰三角形?
【思路分析】近年來這種問動點運動到何處時影象變成特殊圖形的題目非常流行，所以大家需要對各種特殊圖形的判定性質非常熟悉。本題一樣一步步拆開來做，第一問送分，給出的拋物線表示式很好因式分解。注意平行於x軸的直線交拋物線的兩個點一定是關於對稱軸對稱的。
第二問就在於當四邊形pqca為平行四邊形的時候題中已知條件有何關係。在運動中，qc和pa始終是平行的，根據平行四邊形的判定性質，只要qc=pa時候即可。第三問求△pqf是否為定值，因為三角形的一條高就是q到x軸的距離，而運動中這個距離是固定的，所以只需看pf是否為定值即可。
根據相似三角形建立比例關係發現op=af，得解。第四問因為已經知道pf為乙個定值，所以只需pq=pf=18即可，p點（4t,0）q (8-t,-10),f(18+4t,0)兩點間距離公式分類討論即可.本道題是09年黃岡原題,第四問原本是作為解答題來出的本來是3分,但是本題作為1分的填空,考生只要大概猜出應該是fp=fq就可以。
實際考試中如果碰到這麼麻煩的,如果沒時間的話筆者個人建議放棄這一分去檢查其他的.畢竟得到這一分的時間都可以把選擇填空仔細過一遍了.
【解析】解：(1) ，令得，
∴或∴；
在中，令得即；
由於bc∥oa，故點c的縱座標為－10，由得或
即 於是，
（2）若四邊形pqca為平行四邊形，由於qc∥pa.故只要qc=pa即可
∵∴ 得（3）設點p運動秒，則，，說明p**段oa上，且不與點o、a重合，
由於qc∥op知△qdc∽△pdo，故∴∴
又點q到直線pf的距離
∴∴△pqf的面積總為90
（4）由上知，，。構造直角三角形後易得
，若fp=pq，即，故，
∵∴∴若qp=qf，即，無的滿足條件；……………12′
若pq=pf，即，得，∴或都不滿足，故無的滿足方程；
綜上所述：當時，△pqr是等腰三角形。
【例3】2012,延慶,一模
如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交於、兩點（點在點的左邊），點的橫座標是．
（1）求點座標及的值；
（2）如圖（1），拋物線與拋物線關於軸對稱，將拋物線向右平移，平移後的拋物線記為，的頂點為，當點、關於點成中心對稱時，求的解析式；
（3）如圖（2），點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉後得到拋物線．拋物線的頂點為，與軸相交於、兩點（點在點的左邊），當以點、、為頂點的三角形是直角三角形時，求點的座標．
【思路分析】出題人比較仁慈，上來就直接給出拋物線頂點式，再將b（1,0）代入，第一問輕鬆拿分。第二問直接求出m座標，然後設頂點式，繼續代入點b即可。第三問則需要設出n，然後分別將np，pf,nf三個線段的距離表示出來，然後切記分情況討論直角的可能性。
計算量比較大，務必細心。
【解析】
解：⑴由拋物線：得
頂點的為
∵點在拋物線上
∴ 解得，
⑵連線，作軸於，作軸於
∵點、關於點成中心對稱
∴過點，且∴∴,
∴頂點的座標為 （標準答案如此，其實沒這麼麻煩，點m到b的橫縱座標之差都等於b到p的，直接可以得出（4,5））
拋物線由關於軸對稱得到，拋物線由平移得到
∴拋物線的表示式為
⑶∵拋物線由繞點軸上的點旋轉得到
∴頂點、關於點成中心對稱
由⑵得點的縱座標為
設點座標為
作軸於，作軸於
作於∵旋轉中心在軸上
∴∴，點座標為
座標為，座標為，
根據勾股定理得
①當時，，解得，∴點座標為
②當時，，解得，∴點座標為
③∵，∴
綜上所得，當點座標為或時，以點、、為頂點
的三角形是直角三角形
【例4】2012，房山，一模
如圖，在平面直角座標系中，直線l1：交軸、軸於、兩點，點是線段上一動點，點是線段的三等分點．
（1）求點的座標；
（2）連線，將繞點旋轉，得到．
①當時，鏈結、，若過原點的直線將四邊形分成面積相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；
②過點作軸於，當點的座標為何值時，由點、、、構成的四邊形為梯形？
【思路分析】本題計算方面不是很繁瑣，但是對圖形的構造能力提出了要求，也是一道比較典型的動點移動導致特殊圖形出現的題目。第一問自不必說，第二問第一小問和前面例題是一樣的，也是要把握過四邊形對角線交點的直線一定平分該四邊形面積這一定理。求出交點就意味著知道了直線.
第二小問較為麻煩,因為c點有兩種可能,h在c點的左右又是兩種可能,所以需要分類討論去求解.只要利用好梯形兩底平行這一性質就可以了.
【解析】
（1）根據題意：，
∵是線段的三等分點
∴或2分
（2）①如圖，過點作軸於點，
則．∵．∴
∴∴∵點在直線上
∴- ∵是由繞點旋轉得到的
∴∴無論是、點，四邊形是平行四邊形且為對稱中心
∴所求的直線必過點．
∴直線的解析式為:
② 當時，
第一種情況：在點左側
若四邊形是梯形
∵與不平行
∴∥此時
第二種情況：在點右側
若四邊形是梯形
∵與不平行
∴∵是線段的中點
∴是線段的中點
∴由，．
∴∴點的橫座標為
∴ 當時，同理可得
第一種情況：在點左側時，-
第二種情況：在點右側時，-
綜上所述，所求m點的座標為：，，或．
【例5】通州，2012，一模
在平面直角座標系中，拋物線與x軸交於a、b兩點，（點a在點b左側）.與y軸交於點c，頂點為d，直線cd與x軸交於點e.
（1）請你畫出此拋物線，並求a、b、c、d四點的座標.
（2）將直線cd向左平移兩個單位，與拋物線交於點f（不與a、b兩點重合），請你求出f點座標.
（3）在點b、點f之間的拋物線上有一點p，使△pbf的面積最大，求此時p點座標及△pbf的最大面積.
（4）若平行於x軸的直線與拋物線交於g、h兩點，以gh為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑.
【思路分析】本題看似錯綜複雜，尤其最後第四問的影象畫出來又亂又擠，稍微沒畫好就會讓人頭大無比。但是不用慌，一步步來慢慢做。拋物線表示式很好分解，第一問輕鬆寫出四個點。
第二問向左平移，c到對稱軸的距離剛好是1，所以移動兩個距離以後就到了關於對稱軸對稱的點上，所以f直接寫出為（-2,-3）第三問看似棘手，但是只要將△pbf拆解成以y軸上的線段為公共邊的兩個小三角形就會很輕鬆了。將p點設出來然後列方程求解即可。最後一問要分gh在x軸上方和下方兩種情況，分類討論。
不過做到最後一步相信同學們的圖已經畫的亂七八糟了，因為和前面的問題沒有太大關係，所以建議大家畫兩個圖分開來看。
【解析】
．解：（1）.
（2（3）過點作軸的平行線與交於點，與軸交於點
易得，直線解析式為．
設，則，
∴的最大值是
當取最大值時的面積最大
的面積的最大值為 .
（4）如圖，①當直線在軸上方時，設圓的半徑為，則，
代入拋物線的表示式，解得.
②當直線在軸下方時，設圓的半徑為，
則，代入拋物線的表示式，解得
∴圓的半徑為或． .
【總結】 通過以上五道一模真題，我們發現這類問題雖然看起來十分複雜，但是只要一問一問研究慢慢分析，總能拿到不錯的分數。將幾何圖形添進座標系大多情況下是和拋物線有關，所以首先需要同學們對拋物線的各種性質熟練掌握，尤其是借助拋物線的對稱性，有的時候解題會十分方便。無論題目中的圖形是三角形，梯形以及平行四邊形或者圓，只要認清各種圖形的一般性質如何在題中體現就可以了。
例如等腰/邊三角形大多和相似以及線段長度有關，梯形要抓住平行，平行四邊形要看平行且相等，圓形就要看半徑和題目中的條件有何關係。還需要掌握平分三角形/四邊形/圓形面積的直線分別都一定過哪些點。總之，再難的問題都是由乙個個小問題組成的，就算最後一兩問沒有時間思考拿不了全分，至少要將前面容易的分數拿到手，這部分分數其實還不少。
像例2最後一問那種情況，該放棄時候果斷放棄，不要為1分的題失去了大量檢查的時間。
2019中考總結複習衝刺練 幾何計算專題
一 中考要求 證明與計算，是幾何命題的兩大核心內容。幾何計算題，通常需要借助幾何中的概念 定義 定理 公理等知識，求解相關幾何元素的數值。在解題時，要求能準確靈活地選用有關知識，採用各種數學方法 既可以是幾何方法，也可以是代數方法 加以求解。為了能在有限的時間內，迅速準確地解題，就需要在平時練習中，...
2019中考總結複習衝刺練 中考數學圓的基本題型聚焦
縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關概念以及性質等一般以填空題，選擇題的形式考查並占有一定的分值 一般在10分 15分左右，圓的有關性質，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式考查 利用圓的知識與其他知識點如代數函式，方程等相結合作為中考壓軸題將會占有非常重要的地位...
2019中考總結複習衝刺練 方案設計題
方案設計型題是通過設定乙個實際問題情景，給出若干資訊，提出解決問題的要求，要求學生運用學過的技能和方法，進行設計和操作，尋求恰當的解決方案。有時也給出幾個不同的解決方案,要求判斷哪個方案較優。它包括測量方案設計 作圖方案設計和經濟類方案設計。一 測量方案設計題，一般限定條件 限定測量工具，讓同學們設...