我們已經研究了動態幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函式問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側重，第乙個是側重幾何方面，利用幾何圖形的性質結合代數知識來考察。而另乙個則是側重代數方面，幾何性質只是乙個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。
但是這兩種側重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函式，方程的應用上。其中通過圖中已給幾何圖形構建函式是重點考察物件。
不過從近年北京中考的趨勢上看，要求所構建的函式為很複雜的二次函式可能性略小，大多是乙個較為簡單的函式式，體現了中考數學的考試說明當中「減少複雜性」「增大靈活性」的主體思想。但是這也不能放鬆，所以筆者也選擇了一些較有代表性的複雜計算題僅供參考。
【例1】
如圖①所示，直角梯形oabc的頂點a、c分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點b、c作直線.將直線平移，平移後的直線與軸交於點d，與軸交於點e.
（1）將直線向右平移，設平移距離cd為（t≥0），直角梯形oabc被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關於的函式圖象如圖②所示，om為線段，mn為拋物線的一部分，nq為射線，且nq平行於x軸，n點橫座標為4，求梯形上底ab的長及直角梯形oabc的面積.
（2）當時，求s關於的函式解析式.
【思路分析】本題雖然不難，但是非常考驗考生對於函式影象的理解。很多考生看到圖二的函式影象沒有數學感覺，反應不上來那個m點是何含義，於是無從下手。其實m點就表示當平移距離為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，n點表示移動距離超過4之後陰影部分面積就不動了。
腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當d移動過了0點的時候.所以根據這麼幾種情況去作答就可以了。第二問建立函式式則需要看出當時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去△ode的面積，於是根據這個建構函式式即可。
動態幾何連帶函式的問題往往需要找出圖形的移動與函式的變化之間的對應關係，然後利用對應關係去分段求解。
【解】（1）由圖（2）知，點的座標是（2，8）
∴由此判斷：；
∵點的橫座標是4，是平行於軸的射線，
∴直角梯形的面積為：..... (3分)
（2）當時，
陰影部分的面積=直角梯形的面積的面積 (基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關係)∴∵
∴【例2】
已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角座標系．是邊上的乙個動點（不與重合），過點的反比例函式的圖象與邊交於點．
（1）求證：與的面積相等；
（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？
（3）請探索：是否存在這樣的點，使得將沿對折後，點恰好落在上？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
【思路分析】本題看似幾何問題，但是實際上△aoe和△fob這兩個直角三角形的底邊和高恰好就是e,f點的橫座標和縱座標，而這個乘積恰好就是反比例函式的係數k。所以直接設點即可輕鬆證出結果。第二問有些同學可能依然糾結這個△eof的面積該怎麼算，事實上從第一問的結果就可以發現這個矩形中的三個rt△面積都是異常好求的。
於是利用矩形面積減去三個小rt△面積即可，經過一系列化簡即可求得表示式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻摺問題，翻摺之後大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，於是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就ok.
【解析】
（1）證明：設，，與的面積分別為，，
由題意得，．
，．，即與的面積相等．
（2）由題意知：兩點座標分別為，， (想不到這樣設點也可以直接用x去代入,麻煩一點而已)，．
當時，有最大值．
．（3）解：設存在這樣的點，將沿對折後，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．
由題意得：，，，
，．又，
．(將已知和所求的量放在這一對有關聯的三角形當中)，，．
，，解得．
．存在符合條件的點，它的座標為．
【例3】
如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠c＝90°，bc＝16，dc＝12，ad＝21。動點p從點d出發，沿射線da的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點q從點c出發，**段cb上以每秒1個單位長的速度向點b運動，點p，q分別從點d，c同時出發，當點q運動到點b時，點p隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。
（1）設△bpq的面積為s，求s與t之間的函式關係式；
（2）當t為何值時，以b，p，q三點為頂點的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在時刻t，使得pq⊥bd？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。
【思路分析】 本題是一道和一元二次方程結合較為緊密的代幾綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經**過解決動點問題的思路就是看運動過程中哪些量發生了變化，哪些量沒有變化。對於該題來說，當p,q運動時，△bpq的高的長度始終不變，即為cd長，所以只需關注變化的底邊bq即可，於是列出函式式。
第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學畫出圖形以後就不知如何下手，此時不要忘記這個題目中貫穿始終的不動量—高，過q做出垂線以後就發現利用角度互餘關係就可以證明△peq和△bcd是相似的，於是建立兩個直角三角形直角邊的比例關係，而這之中只有pe是未知的，於是得解。 這道題放在這裡是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關，利用這個不變的高區建立函式，建立方程組乃至比例關係才能拿到全分。
【解析】
解： （1）如圖1，過點p作pm⊥bc，垂足為m，則四邊形pdcm為矩形。
∴pm＝dc＝12
∵qb＝16－t，∴s＝×12×(16－t)＝96－t
（2）由圖可知：cm＝pd＝2t，cq＝t。熱以b、p、q三點]
為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。
①若pq＝bq。在rt△pmq中，，由pq2＝bq2
得 ，解得t＝；
②若bp＝bq。在rt△pmb中，。由bp2＝bq2 得：
即。由於δ＝－704＜0
∴無解，∴pb≠bq…
③若pb＝pq。由pb2＝pq2，得
整理，得。解得（舍）（想想看為什麼要捨？函式自變數的取值範圍是多少？）
綜合上面的討論可知：當t＝秒時，以b、p、q三點為頂點的三角形是等腰三角形。
（3）設存在時刻t，使得pq⊥bd。如圖2，過點q作qe⊥ads，垂足為e。由rt△bdc∽rt△qpe，
得，即。解得t＝9
所以，當t＝9秒時，pq⊥bd。
【例4】
在rt△abc中，∠c=90°，ac = 3，ab = 5．點p從點c出發沿ca以每秒1個單位長的速度向點a勻速運動，到達點a後立刻以原來的速度沿ac返回；點q從點a出發沿ab以每秒1個單位長的速度向點b勻速運動．伴隨著p、q的運動，de保持垂直平分pq，且交pq於點d，交折線qb-bc-cp於點e．點p、q同時出發，當點q到達點b時停止運動，點p也隨之停止．設點p、q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當t = 2時，ap = ，點q到ac的距離是 ；
（2）在點p從c向a運動的過程中，求△apq的面積s與
t的函式關係式；（不必寫出t的取值範圍）
（3）在點e從b向c運動的過程中，四邊形qbed能否成
為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）當de經過點c時，請直接寫出t的值．
【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當中的函式題。但是本題略有不同的是動點有乙個折返的動作，所以加大了思考的難度,但是這個條件基本不影響做題,不需要太專注於其上。首先應當注意到的是在運動過程中de保持垂直平分pq這一條件，然後判斷t可能的範圍.
因為給出了ac和cb的長度,據此估計出運動可能呈現的狀態.第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內的比例關係做出函式.第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現方式.
de//qb和pq//bc都要分情況討論.最後一問則可以直接利用勾股定理或者aq,bq的等量關係去求解.
解：（1）1，；
（2）作qf⊥ac於點f，如圖3， aq = cp= t，∴．
由△aqf∽△abc，，
得．∴．
∴，即．
（3）能．
①當de∥qb時，如圖4．
∵de⊥pq，∴pq⊥qb，四邊形qbed是直角梯形．
此時∠aqp=90°．
由△apq∽△abc，得，
即． 解得．
②如圖5，當pq∥bc時，de⊥bc，四邊形qbed是直角梯形．
此時∠apq =90°．
由△aqp∽△abc，得 ，
即． 解得．
（4）或．
【注：①點p由c向a運動，de經過點c．
方法一、連線qc，作qg⊥bc於點g，如圖6．
，．由，得，解得．
方法二、由，得，進而可得
，得，∴．∴．
②點p由a向c運動，de經過點c，如圖7．
，【例5】
如圖，在中，，，，分別是邊的中點，點從點出發沿方向運動，過點作於，過點作交於
，當點與點重合時，點停止運動．設，．
（1）求點到的距離的長；
（2）求關於的函式關係式（不要求寫出自變數的取值範圍）；
（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．
【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實就是重要暗示，算dh的長度實際上就是後面pq的長度，在構建等腰三角形中發揮重要作用。算dh的方法很多，不用累述。
第二問列函式式，最重要的是找到y(qr)和x(bq)要通過哪些量練聯絡在一起.我們發現rq和qc所在的△qrc和△bac是相似的,於是建立起比例關係得出結果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構成特殊圖形的情況都要去討論一下.
不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.
解：（1），，，．
點為中點，．，．，
，．（2），．
，，，，
即關於的函式關係式為：．
（3）存在，分三種情況：
①當時，過點作於，則．，，．
，，，．
②當時，，
．③當時，則為中垂線上的點，
於是點為的中點，．，
，．綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．
首先和純動態幾何題一樣，始終把握在變化中不動的量將函式的變數放在同一組關係中建立聯絡,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯絡起來的相似三角形組來構造比例關係。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函式自變數的取值範圍，合理篩選出可能的情況。
最後就是在計算環節認真細心，做好每一步。
2019中考總結複習衝刺練 幾何計算專題
一 中考要求 證明與計算，是幾何命題的兩大核心內容。幾何計算題，通常需要借助幾何中的概念 定義 定理 公理等知識，求解相關幾何元素的數值。在解題時，要求能準確靈活地選用有關知識，採用各種數學方法 既可以是幾何方法，也可以是代數方法 加以求解。為了能在有限的時間內，迅速準確地解題，就需要在平時練習中，...
2019中考總結複習衝刺練 中考數學圓的基本題型聚焦
縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關概念以及性質等一般以填空題，選擇題的形式考查並占有一定的分值 一般在10分 15分左右，圓的有關性質，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式考查 利用圓的知識與其他知識點如代數函式，方程等相結合作為中考壓軸題將會占有非常重要的地位...
2019中考總結複習衝刺練 座標系中的幾何問題
2013中考總結複習衝刺練 座標系中的幾何問題 前言 前面六講我們研究了幾何綜合題及代數綜合題的各種方面，相信很多同學都已經掌握了。但是中考中，最難的問題往往都是幾何和代數混雜在一起的，一方面涉及函式，座標系，計算量很大，另一方面也有各種幾何圖形的性質體現。所以往往這類問題都會在最後兩道題出現，而且...