甘華貴州省麻江縣龍山中學
等積問題是初中平面幾何的重要內容，它涉及的知識內容廣泛，有利於考查學生的綜合運用知識的能力，因而受到教育界的普通重視，是各地中考熱點之一。從內容來看，等積問題涉及全等，相似，平行線成比例線段等。從方法來看，它涉及到相似的證明，全等的證明，平行線的證明，成比例線段等。
等積問題綜合性強，型別繁多，涉及面廣，難度大，加之許多學生由於基礎知識不牢，不善於歸納總結。結果在解決等積問題時不能靈活運用，感覺問題的分析困難，甚至是無從下手，望而生畏。為此，我通過多年的教學實踐、總結，提出了等積證明的「三步曲」。
所謂之「三步曲」是指在證明等積問題時，首先考慮把等積問題化為等比問題，證明相關的三角形相似。其次，在無法證明三角形相似時，可用問題中所蘊含的與等比中某一線段相等的線段或相等的比值來代替。最後，若無法找到相應的等線或等比時則通過平行線成比例線段這一相關性質找相應的比值。
下面我就結合一些具體的例項進行分析。
等積問題證明第一步：化等比，定相似
遇到等積問題時，首先把等積化為等比的形式，然後
考慮證明兩個三角形相似。
例1：（2023年瀋陽市中考題）如圖，△abc內接於⊙o，
ad平分∠abc，交bc於e，交⊙o於d。
求證：ab·ac=ad·ae
分析：欲證ab·ac=ad·ae可通過證明等比式
，由圖可知ab、ae 是構成△abe的兩邊，
ad、ac是連線dc後所得△adc的兩邊， 因而可同
過證明這兩個三角形相似即可。
證明：連線dc
∵ad平分∠abc
∴∠bad=∠cad
又∵∠abc=∠adc
∴△abe∽△adc
∴∴ab·ac=ad·ae
等積證明第二步：不相似，莫生氣，等線等比來代替。
若在化等比，定相似的基礎上不能通過證明兩個三角形相似來實現等積的證明，此時可通過查詢問題中所隱含的相等的線段或相等比值的條件，用等線或相等的比值來代替等比式中的相應部分，再在此基礎上通過其它的手段來證明等積問題。
例2：（如圖， abcd中，e為邊ad延
長線上的一點，be交cd於f。
試說明：cd·bc=ae·fc的理由。
分析：俗證cd·bc=ae·fc需證，
但明顯由cd、ae、fc、bc四條線段無法
去證明兩個有效的三角形相似，因此無法通過證明三角形相似來實現證明此等積問題，通過觀察，容易發現，等比式中的線段cd和線段ab是相等的，從而可用ab來替代中的cd，即等比式可變形為，這時我們輕鬆發現ab、ae、fc、bc分別是△abe和△cbf的兩邊，從而通過證明△abe和△cbf相似即可。
證明：∵四邊形abcd是平行四邊形
∴∠a=∠c
ab=cd
ad∥bc
∴∠cbf=∠aeb
∴△abe∽△cbf
∴又∵ab=cd（已證）
∴∴cd·bc=ae·fc
例3、如圖，p是 abcd的邊dc的延長線上的一點，連線ap交db、bc於m、n，求證：am2=mn·np
分析：欲證am2=mn·np，只需證，
但從圖中可看出線段am、mn、np都在一條直線
上，因此不可能找到與這三條線段相關的兩個三角形，
此時已不能通過直接證明來達到證明am2=mn·np成立。我們必須通過其它的方法來實現。這時通過觀察圖形，結合已知條件容易發現：，，從而可得出，進而證明am2=mn·np。
證明：證明：
∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ab∥dc ，ad∥bc
∴△adm∽△nbm，△abm∽△pdm
∴， ∴
∴am2=mn·np
等積問題證明第三步：平行線轉比例，兩端各自拉關係。
在證明等積時，在無法證明兩個三角形相似且一時間又無法找到問題中所蘊含的等線或相等的比值時，可進行觀察，看看問題中是否含有平行的條件，可借助平行線成比例的有關性質來查詢問題所含的相等的比值。
例：梯形abcd中，ab∥dc，e是ab的中點，直線de分別與對角線ac，直線bc相交於m和n
求證: md·ne=me·nd
分析：欲證md·ne=me·nd，需證，由圖中無法
直接找到與md，緊扣條件中的ab∥dc，由平行線分線段成
比例定理發現，，和兩式中唯
一不同之處僅在於ae、be，而已知條件中明確了e是ab的
中點，即ae與be是相等的，從而=，再借助這一等價關係可
得，進而證明md·ne=me·nd。
證明：∵ab∥dc
∴ ，
又∵e是ab的中點
∴ae=be∴=∴
∴md·ne=me·nd
「遇等積，化等比，定相似；不相似，莫生氣，等線等比來代替；平行線，轉比例，兩端各自拉關係」的解題思路，僅僅是等積問題眾多證明思路中的一種。等積問題千變萬化，不同的等積問題仍需要進行具體的分析，選擇恰當的方法。相信只要在等積問題的證明過程中不斷摸索，不斷總結，就能找到一種比較適用的證明方法和證明技巧。
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