明確複習目標
1．理解不等式的性質和證明;
2．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
建構知識網路
1. 比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：
（1）比差法：步驟是：①作差；②分解因式或配方；③判斷差式符號；
（2）比商法：要證a>b且b>0，只須證1。
說明：①作差比較法證明不等式時，通常是進行通分、因式分解或配方，利用各因式的符號或非負數的性質進行判斷；
②證冪、乘積的不等式時常用比商法，證對數不等式時常用比差法。運用比商法時必須確定兩式的符號；
2. 綜合法：利用某些已經證明過的不等式（如均值不等式，常用不等式，函式單調性）作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要證的不等式的方法。
3. 分析法：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那麼就可以判定所證的不等式成立。
這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程
4．對較複雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法,或比較法加以證明。
5. 要掌握證明不等式的常用方法，此外還要記住一些常用不等式的形式特點,運用條件,等號、不等號成立的條件等。
經典例題做一做
【例1】（1）已知a,b∈r,求證: a2+b2+1>ab+a
（2）設求證
【例2】已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.
【例3】已知的三邊長為且為正數.求證:
【例4】設二次函式f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜.
（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f（x）＜x1；
（2）設函式f（x）的圖象關於直線x=x0對稱，求證x0＜.
【研討.欣賞】已知a＞1，m＞0，求證：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.
提煉總結以為師
1.比較法是一種最重要的、常用的基本方法，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握.
步驟是：作差→變形(分解因式或配方)→判斷符號.
對於積或冪的式子可以作商比較,作商比較必須弄清兩式的符號.
2.對較複雜的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分條件,再證這個條件(不等式)成立.
3.綜合法是最簡捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,綜合法寫出.有時也需要幾種方法綜合運用.
4.要熟練掌握均值不等式、四種平均值之間的關係，記住一些常用的不等式，記住它們的形式特點、證明方法和內在聯絡。
【解答題】
7.(1)已知a、b、x、y∈r+且＞，x＞y. 求證：＞
(2) 若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．
8．己知都是正數，且成等比數列，
求證：9. 設x>0,y>0且x≠y,求證
附錄：不等式基本概念
一．考試要求：
(1)理解不等式的性質及其證明.
(2)掌握兩個(不擴充套件到三個)正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用.
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單不等式.
(4)掌握簡單不等式的解法.
(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
【注意】不等式在數學的各個分支中都有廣泛的應用，同時還是繼續學習高等數學的基礎.縱觀歷年試題，涉及不等式內容的考題大致可分為以下幾類：①不等式的證明；②解不等式；③取值範圍的問題；④應用題.
三．基礎知識:
1.常用不等式：
（1） (當且僅當a＝b時取「=」號)．
（2） (當且僅當a＝b時取「=」號)．
（3）（4）柯西不等式
（5）.
2.極值定理
已知都是正數，則有
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值.
3.一元二次不等式
，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.
4.含有絕對值的不等式當a> 0時，有.或.
5.指數不等式與對數不等式
(1)當時,;
.(2)當時,;
三．基本概念
1、不等式的性質：
（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則
若，則；
（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；
（4）若，，則；若，，則。
2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：
作差後通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用於分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函式的單調性；（7）尋找中間量或放縮法 ；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。
3.利用重要不等式求函式最值時，你是否注意到：「一正二定三相等，和定積最大，積定和最小」這17字方針。
4.常用不等式有：
（1）(根據目標不等式左右的運算結構選用) ；
（2）a、b、cr，（當且僅當時，取等號）；
（3）若，則（糖水的濃度問題）。
5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）後通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然後作出結論。).
常用的放縮技巧有：
6.簡單的一元高次不等式的解法：
標根法：（1）分解成若干個一次因式的積，並使每乙個因式中最高次項的係數為正；
（2）將每乙個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；並注意奇穿過偶彈回；
（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分並將分子分母分解因式，並使每乙個因式中最高次項的係數為正，最後用標根法求解。
解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
8.絕對值不等式的解法：
（1）分段討論法（最後結果應取各段的並集）：
（2）利用絕對值的定義；
（3）數形結合
9、含參不等式的解法：求解的通法是「定義域為前提，函式增減性為基礎，分類討論是關鍵．」注意解完之後要寫上：「綜上，原不等式的解集是…」。
注意：按引數討論，最後應按引數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最後應求並集.
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最後務必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義範圍的端點值。
11.含絕對值不等式的性質：
同號或有
；異號或有
.12.不等式的恆成立,能成立,恰成立等問題：不等式恆成立問題的常規處理方式？（常應用函式方程思想和「分離變數法」轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特徵，利用數形結合法）
1).恆成立問題
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
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