——例談函式與導數問題的有關解題思想
嘉興三中顧紅俏
**摘要：函式與導數有關的綜合問題在高考試卷中屬於壓軸題，多數學生都為之畏懼．作為教師在平時對學生的引導與訓練顯得尤為重要．要培養學生的函式思想，極限思想，等價轉化思想，分類討論思想，倒數曲線思想，數形結合思想，洛比達法則思想．透過高考真題，反思歸納，概括總結，達到舉一反
三、觸類旁通的效果．
關鍵詞：函式，導數，等價轉化，分類討論，反思歸納．
自從導數進入高中數學教材之後，它給傳統的中學數學內容注入了生機和活力．它作為一種處理數學問題的重要工具，有著十分廣泛的應用．在高考試卷中，函式與導數的問題一直是讓學生感到棘手和困難的問題，甚至有些學生束手無策．如果在平時學習和複習備考中，教師和學生都能以賞析的眼光來看待全國各省市高考真題，不斷歸納總結，概括題型與解題方法，便會達到事半功倍的效果．
現以２０１２年部分省市的高考真題為例，談一談賞析高考，反思歸納．
題目１（２０１２年高考新課標文２１題）設函式
（ⅰ）求的單調區間
(ⅱ)若，為整數，且當時，，求的最大值
解法：（ⅰ）的定義域為，，
若，則，所以在上單調遞增．
若，則當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增．
(ⅱ)由於，所以
故當時，等價於，①
令，則．由（ⅰ）知，函式在上單調遞增，而，，所以在上存在唯一的零點，故在上存在唯一的零點．設此零點為，則．
當時，；時，，
所以在上的最小值為．又由可得，
所以，由於①式等價於，故整數的最大值為．
賞析：第（ⅰ）題是常規題目，通過導函式的正負情況就可以求出原函式的單調性．難點是：分類討論．對學生而言，分類的難點在於「為什麼要這樣分類？
」，本題分類的原因是恆成立，所以考慮和，即和這兩類.第（ⅱ）題，難點：由分離引數思想把（）轉化成恆成立的問題，也就是，繼而研究新的函式的最小值.
難點：求函式的最小值的取值範圍．通過得，也就是可以用來替換，所以有，這是計算中的難點與技巧．
反思歸納：分類問題要引導學生找出分類的依據，分類要全面細緻，不能重複，也不能遺漏，通過引數的分類的交集可知是否重複，通過引數的分類的並集可知是否遺漏．關於恆成立的問題在高考試卷中經常出現，如恆成立，即；恆成立，即，這些想法要經常向學生滲透，使之理解並學會靈活運用．函式與導數問題的解決過程中，計算也是難點，要善於前後觀察，化繁為簡，從而使問題得以順利解決．
題目２（２０１２年高考全國文２１題）已知函式
（ⅰ）討論的單調性；
（ⅱ）設有兩個極值點，若過兩點，的直線與軸的交點在曲線上，求的值．
解法：（ⅰ），
（ⅰ）當時，，且當時，，所以是上的增函式．
（ⅱ）當時，有兩個根
， 當時，，是增函式．
當時，，是減函式．
當時，，是增函式．
（ⅱ）由題設知，是方程的兩個根，故有
， ．因此
．同理，
因此直線的方程為．
設與軸的交點為，得．
由題設知，點在曲線上，故由，解得，或，或．
賞析：第（ⅰ）題的解法與題目１的第（ⅰ）題相類似，難點仍然是分類．該題的分類依據是：在中，恆成立，因此考慮和，即和兩類．第（ⅱ）題的難點１：
計算化簡，能把化成的關鍵是降次，由前面計算可知所以把中的代換成．難點２：由， 可知直線的方程為，原因是形同變數異．
反思歸納：方程的思想，函式的思想，代換的思想在解題中常見，在平時的練習中要善於歸類，達到舉一反三的效果．
題目３（２０１２年高考湖南文２２題）已知函式，其中.[@#中國^教（ⅰ）若對一切x∈r，恆成立，求的取值集合；[z
（ⅱ)在函式的影象上去定點a（x1,）,b(x2,)()，記直線ab的斜率為k，證明：存在x0∈（,）,使恆成立.
解法：（ⅰ），令得．
當時，單調遞減；當時，單調遞增，
故當時，取最小值．於是對任意，恆成立，當且僅當． ①
令，則．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．
故當時，取最大值，因此，當且僅當時，①式成立．
綜上所述，的取值集合為
（ⅱ)由題意知，
令，則，
．令，則．
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．
故當時，，即．從而，，又，，所以，．因為函式在區間上的影象是連續不斷的一條曲線，所以存在使，即成立．
賞析：本題考查利用導數研究函式的單調性，最值，不等式恆成立問題等，考查運算能力，分類討論思想，函式與方程思想等數學思想．第（ⅰ）題利用導函式法求出最小值對一切，恆成立轉化為，從而得出的取值集合．第（ⅱ)題在假設存在的情況下進行推理，然後把問題歸結為乙個方程是否存在解的問題，通過建構函式，研究這個函式的性質進行分析判斷，實在是妙．
反思歸納：函式與方程的思想在解決函式與導數的綜合問題中經常使用．第（ⅰ）題可以使用引數分離法，由，得，接下來分三類討論：和，分別求出的範圍再求交集即．在這過程中也會有難點，還需要有極限思想，學會倒數曲線，如果有機會可以向學生介紹洛比達法則，這樣可以使問題從多種角度都可以解決，條條大路通羅馬．第（ⅱ)題其實際是大學數學中的拉格朗日中值定理的另一種說法，證明方法是建構函式法，對高中學生來說，＂構造＂是很難想到的．透過本題可以看到，大學數學中的一些解題思想和技巧也會在今後的高考中再次出現，這就要求教師經常向學生滲透一些大學數學中的證題技巧和解題思想，如極限思想，閉區間套思想，洛比達法則思想等，使學生的解題思想站在乙個新的高度，有一覽眾山小的感覺．
題目４（２０１２年高考湖北文２２題）設函式，n為正整數，a,b為常數，曲線y=在（1，）處的切線方程為x+y=1.（ⅰ）求a,b的值；（ⅱ）求函式的最大值（ⅲ）證明： <.
解法：（ⅰ）因為，由點在直線上，可得，即．
因為，所以．又因為切線的斜率為，所以，即，故
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，令，解得，即在上有唯一零點．在上，，故單調遞增；在上，，故單調遞減．因此在上的最大值為．
（ⅲ）令，則．在上，，故單調遞減；而在上，，故單調遞增．因此在上的最小值為，所以，即．
令，得，即，所以，即．由（ⅱ）知，故所證不等式成立．
賞析：本題考查多項式函式的求導的幾何意義，由導函式判斷原函式的單調性，求解函式的最值以及證明不等式的綜合應用問題．考查轉化與化歸，分類討論的數學思想，以及運算求解的能力．第（ⅰ），（ⅱ）題比較容易解決．第（ⅲ）題證明不等式，通過建構函式使得問題得以解決．難點是：這個函式是怎樣構造出來的？
其實這是數學解題重要思想之一：等價轉化思想．
，通過這一系列的等價轉化，便構造了解決問題的函式．
反思歸納：導數的幾何意義一般用來求曲線的切線方程，導數的應用一般用來求解函式的極值，最值，證明不等式等．用導數證明不等式通常通過建構函式來實現，函式的構造通常通過以下幾種方式產生：移項即可產生；變形之後產生；轉化途中產生；挖掘隱含條件產生；借助已知函式產生．難點是化成何種函式才能達到證明結論的需要，通常是化成熟悉的函式或化成單調性容易判斷的函式．教師在教學中要有意識的進行含有等基本初等函式的求導運算及不等式證明等綜合應用問題的訓練，使學生達到對這一類問題不陌生或者熟練的程度．
題目５（２０１２年高考陝西文２１）設函式
（ⅰ）設，，證明：在區間內存在唯一的零點；
（ⅱ）設n為偶數，，，求b+3c的最小值和最大值；
（ⅲ）設，若對任意，有，求的取值範圍．
解法：（ⅰ）當，時，．
，在內存在零點．
又當時，，在上是單調遞增的．
在內存在唯一零點．
（ⅱ）由題意知，，即．把看成是的函式，再由線性規劃的知識可得在點取到最小值，在點取到最大值．
到最小值為，最大值為．
（ⅲ）當時，，對任意都有等價於在上的最大值與最小值之差，據此分類討論如下：
①當，即時，，與題設矛盾．
②當，即時，恆成立．
③當，即時，恆成立．
綜上所述，．
賞析：本題考查函式的零點，代數式的最值，引數的取值範圍．第（ⅰ）題通過單調函式的零點存在性定理較容易解決．第（ⅱ）題利用函式思想和線性規劃知識解決問題．第（ⅲ）題利用等價轉化思想，對任意，有
，再分類討論使得問題得以解決．
透視2023年高考反思歸納
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