導數的應用
展示山東省從高考獨立命題來的試題，發現共性，找到規律，揭示本質，指導教學。
（2007），
（2008）
（2010），
（2012
（2013
（2014）,
（2023年山東理21）應用題
（2023年山東理21）應用題
， (1)分析函式表示式的特點①均為或(兩年應用題除外),其中12年與14年混用；②所含的引數為常數或為基本函式的係數，沒有出現在底數中。
（2）求導後的函式表示式①均為分式（或許是用為原函式的原因）②分式中分母在討論符號時考慮到定義域均為正，可省略不計；③分式中的分子或為一次式，或為二次式，或因式分解轉化為基本初等函式。
通過對往年高考題的分析研究，歸納總結出題型的解題方法和規律，對2023年高考的考向我從四個方面來進行論述：
考向一：含參函式的單調性（區間）與極值、最值
第一步，求函式的定義域；第二步，求導函式；第三步，以導函式的零點存在性進行討論；第四步，當導函式存在多個零點時，討論它們之間的大小關係及區間的位置關係；第五步，畫出導函式的同號函式的草圖，從而判斷其函式的符號；第六步，根據第五步的草圖列出,隨變化的情況表，並寫出函式的單調區間；第七步，綜合上述討論的情形，完整的寫出函式的單調區間。
難點就是第三步，討論的依據是什麼？引數的界點如何找？
為一次式或型如一次式的單調函式.
如2023年
顯然分為及兩個單調區間；
如2023年，
由函式單調遞增，
分為及兩個單調區間。
為二次式或型如二次式.
(1)二次項係數為零；(2)判別式或兩根相等；
(3)根與區間（定義域）的端點相等。
找到界點，分區間討論。
如2023年
方程，根據判別式及兩根，則界點及，從而由分為，，，四種情況討論
如2023年
方程，因式分解為，由因式是否為二次，兩根相等及根等於0，得。由題設時，分，，，時四種情況討論。
變式 （2023年全國卷新課標ⅰ文科21）
設函式，
（）若存在使得，求a的取值範圍。
【解析】：(ⅱ) f (x)的定義域為,
如何找界點？
、、、、
(i)若，則，故當時,，在上單調遞增.
所以,存在, 使得的充要條件為，即
所以-(ii)若，則，故當時,，
時, ,在(1,)上單調遞減，
在單調遞增.
所以,存在, 使得的充要條件為，而
，所以不合題意.
(ⅲ) 若，則。
綜上，a的取值範圍為：
考向二：方程解（函式零點）的個數問題
研究函式的零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化。
含參函式存在零點（即至少有乙個零點），求引數範圍問題，一般可
作為代數問題求解，即對
進行參變分離，得到的形式，
則所求的範圍就是的值域。
（2023年廣東理20）已知a是實數，
函式如果函式在區間上有零點，求a的取值範圍．
解：時，不符合題意，所以，
因為在區間上有零點，
即在上有解，
故． 問題轉化為求函式在上的值域。
設， 則，
由時，函式單調遞減，時，函式單調遞增，所以，即，
所以或．
2.當研究函式的零點個數問題，即方程的實根個數問題時，也常要
進行參變分離，得到
的形式，然後借助數形結合
（幾何法）的思想求解。
(2023年江蘇20)
設函式, ,其中為實數.
(2)若在上是單調增函式,試求的零點個數,並證明你的結論.
(2)證明:∵在上是單調增函式
∴即對恆成立,
而當時，
∴，即求的零點個數
即與在內有多少個不同交點.
設, 令得.
當時，單調遞增；
當時，單調遞減.
因為，,
綜合上知:當或時,的零點個數為1;當時,的零點個數為2
(2023年山東省理科) 20 設函式
（ⅱ）若函式在內存在兩個極值點，求的取值範圍.
由已知得. 要使在(0, 2)有兩個極值點，
只需要在(0, 2)
內有兩個不等實根.
即與在(0, 2)內有兩個不同交點.
設, 令得.
當時，單調遞減；
當時，單調遞增.
因為，，,
所以滿足條件的k的取值範圍為.
相類似的解法以前考過
(2023年陝西理科21)已知函式.
(ⅱ) 設x>0, 討論曲線與曲線公共點的個數.
解：（ⅱ）令即，設有，所以時，兩曲線有2個交點； 時，兩曲線有1個交點； 時，兩曲線沒有交點。
（2023年天津卷20）
設，已知函式有兩個零點且
(1)求的取值範圍；
解：根據，則
設, 令得.
當時，單調遞增；
當時，單調遞減.
因為，,
綜合上知:當時，函式有兩個零點。
模擬求解：
（2023年山東省理科21）設函式(=2.71828是自然對數的底數,).
(ⅱ)討論關於的方程根的個數.
考向三：含參不等式恆成立、能成立或其它轉化為恆成立問題，求引數範圍。
引數的係數不定，注意討論
2013全國新課標理科21
設函式,若曲線和曲線都過點p(0,2),且在點p處有相同的切線
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)若時,求的取值範圍.
(ⅰ)由已知得,
而=,=,∴=4,=2,=2,=2;
(ⅱ)由(ⅰ)知,,,
即當時，恆成立，
當時，當時，，
設，由則函式在上單調遞增，所以
則函式在上單調遞增，在上單調遞減。
所以綜上所述,的取值範圍為[1,].
(2023年山東理科22) 已知函式
.（ⅱ）設當時，若對任意，存在，使，求實數取值範圍.
（ⅱ）解：因為，由於（ⅰ）知，當時，，
函式單調遞減；當時，，函式單調遞增，
所以在（0 , 2）上的最小值為
由於「對任意，存在，使」等價於
「在上的最小值不大於在（0 ，2）上的最小值」
已知函式在區間單調遞增或單調遞減，轉化為導函式恆大於等於零或恆小於等於零，先分析導函式的形式及影象特點，如一次函式最值落在端點，開口向上拋物線最大值落在端點，開口向下拋物線最小值落在端點等。
（2023年江西理科18） 已知函式
(2)若在區間上單調遞增，求b的取值範圍．
(2)解：
易知當時，
依題意當時，有5x＋(3b－2)≤0，
從而＋(3b－2)≤0，得.
所以b的取值範圍為.
（2011安徽理科16）設，其中為正實數
（ⅱ）若為上的單調函式，求的取值範圍。
解： 因為函式在上單調，且為正實數，則在上恆大於等於零，即，
等價於則，解得
故的取值範圍為
（2023年江蘇20）
設函式, ,其中為實數.
(1)若在上是單調減函式,且在上有小值,求的取值範圍;
解:(1)由即對恆成立,
而由知 ∴；
(利用)由令則，
當《時<0,當》時》0, ∵在上有最小值
∴>1 ∴>
綜上所述:的取值範圍為
考向四：利用導數證明不等式
構造輔助函式，把不等式的證明轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而構造輔助函式是用導數證明不等式的關鍵。
作差建構函式
（2023年陝西理科21）設函式，，，其中是的導函式。
若成立，求實數的取值範圍。
解：已知f(x)≥ag(x)成立，即ln(1＋x)≥恆成立．
設φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，
則φ′(x)＝－＝，
當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)，
∴φ(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恆成立，
∴a≤1時，ln(1＋x)≥恆成立(僅當x＝0時等號成立)．
當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，
∴φ (a－1)<φ(0)＝0.
即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，
故知ln(1＋x)≥不恆成立．
綜上可知，a的取值範圍是(－∞，1]．
換元法構造
（2023年山東理科22）設函式,其中.
(iii)證明對任意的正整數,不等式都成立.
有，對任意正整數，取得
放縮法構造
（2023年山東理科21）
已知函式其中n∈n*,a為常數.
（ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.
當x≤2，時，對任意的正整數n，恒有≤1，
故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.
令變型建構函式
（2023年山東理科22）已知函式f(x) =（k為常數，e=2.71828……），曲線y= f(x)在點（1，f(1)）處的切線與x軸平行。
（ⅲ）設,其中為f(x)的導函式，
證明：對任意x＞0，。
證明:，
令,得在上單調遞增,則,
因此,所以
對任意x＞0，
恆成立等價於
令,當時, ,函式在上單調遞增;
當時, ,函式在上單調遞減.故故
因此對任意x＞0，。
分組建構函式
（2023年新課標ⅰ 21）)設函式，
（ⅱ）證明：.
【解析】：（ⅱ）等價於
設函式 ，則，所以當時， ，當時， ，故在單調遞減，在單調遞增，從而在的最小值為設函式 ，則，所以當時， ，當時， ，故在單調遞增，在單調遞減，從而
在的最大值為.
綜上：當時，，即.
兩個經典不等式的使用，
變形為(2023年山東省理科21）
已知函式其中n∈n*,a為常數.
（ⅱ）當a=1時,證明:對任意的正整數n,當x≥2時,有f(x)≤x-1.
證明:當a=1時，
當x≤2時，對任意的正整數n，恒有≤1，
故只需證明
令 則
當x≥2時，≥0，故h(x)在上單調遞增，
因此當x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故當x ≥2時，有≤x-1.
即f（x）≤x-1.
(2023年山東省理科22)
已知函式f(x) =
（ⅲ）設,其中為f(x)的導函式，證明：對任意x＞0，。
證明:，
令,得在上單調遞增,則,
因此,所以
對任意x＞0，恆成立等價於
令,當時, ,函式在上單調遞增;
當時, ,函式在上單調遞減.故故
因此對任意x＞0，。
熟悉掌握一些常用函式
2023年天津理科21
有兩個零點，等價於有兩個交點
2023年全國新課標ⅰ理科21
，從而等價於
2023年山東20有兩個交點
2023年江蘇20零點的個數
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