第18講八年級（上）數學重點知識之一次函式
一、【知識回顧】
1、常量：在變化過程中， 的量叫常量；變數：在變化過程中， 的量叫變數。
例：一輛汽車以60km/h的速度行駛，設行駛的路程為s(km)，行駛的時間為t(h)，則s與t的關係式為變數是________，常量是________。
2．函式的概念
一般地，在乙個變化過程中有兩個變數x和y，如果給定乙個x值，相應地就確定了乙個y值，那麼我們稱y是x的函式．其中x是自變數，y是應變數，當自變數取乙個值時，另乙個變數就有唯一確定的值與它對應，這也是我們判斷兩個變數是否構成函式關係的依據．
辨誤區自變數與另乙個變數的對應關係
【例1－1】 下列關於變數x，y的關係式：①x－3y＝1；②y＝|x|；③2x－y2＝9.其中y是x的函式的是( )．
abcd．①②
【例1－2】 已知y＝2x2＋4，(1)求x取和－時的函式值； (2)求y取10時x的值．
談重點函式中變數的對應關係
你能夠理解嗎：當自變數取乙個值時，另乙個變數就會有唯一的值與之相對應；當另乙個變數取某一數值，則自變數並不一定有唯一的值與之相對應，所以另乙個變數與自變數並不是一一對應的關係．
3．函式關係式：用來表示函式關係的等式叫做函式關係式，也稱為函式解析式或關係表示式．
①函式關係式是等式．②函式關係式中指明了哪個是自變數，哪個是應變數．通常等式右邊的代數式中的變數是自變數，等式左邊的乙個字母表示函式．③函式的解析式在書寫時有順序性．例如，y＝x＋1是表示y是x的函式．若寫成x＝y－1就表示x是y的函式．也就是說：求y與x的函式關係式，必須是用只含變數x的代數式表示y，即得到的等式(解析式)左邊只含乙個變數y，右邊是含x的代數式．
【例2】 已知等腰三角形的周長為36，腰長為x，底邊上的高為6，若把面積y看做腰長x的函式，試寫出它們的函式關係式．
4．自變數的取值範圍
(1)使函式有意義的自變數的全體取值叫做自變數的取值範圍．
(2)自變數的取值範圍的確定方法：首先，要考慮自變數的取值必須使解析式有意義．
①當解析式是整式時，自變數的取值範圍是全體實數；
②當解析式是二次根式時，自變數的取值範圍是使被開方數不小於0的實數；
③當解析式中含有零整數冪或負整數指數冪時，自變數的取值應使相應的底數不為0；
④其次，當函式解析式表示實際問題時，自變數的取值還必須使實際問題有意義．
【例3】 求下列函式的自變數範圍
（1）； （2）； （3）； （4）
4．函式的表示方法
函式的表示方法一般有三種：列表法、圖象法、解析法，以解析法應用較多．有的函式可以用三種方法中的任何一種來表示，而有的只能用其中的一種或兩種來表示．
(1)列表法：列一張表，第一行表示自變數取的各個值，第二行表示相應的函式值，這種表示函式關係的方法稱為列表法．
(2)圖象法：通過建立平面直角座標系，以自變數取的每乙個值為橫座標，以相應的函式值為縱座標，描出每乙個點，由所有這些點組成的圖形稱為這個函式的圖象，這種表示函式關係的方法稱為圖象法．
(3)解析法：用式子表示函式關係的方法稱為解析法，這樣的式子稱為函式的解析式．
函式的三種表示方法：三種表示方法各有優缺點，應用時要視具體情況，選擇適當的表示方法，或將三種方法結合使用．
①列表法：優點是能明顯地顯現出自變數與對應的函式值，缺點是取值有限；
②圖象法：優點是形象、直觀、清晰地呈現出函式的一些性質，缺點是求得的函式值是近似的；③解析法：優點是簡明扼要、規範準確，並且可以根據解析式列表、畫圖象，進而研究函式的
性質；缺點是有些函式無法寫出解析式，只能列出**或畫出圖象來表示．
【及時練習】
1．下列變數之間的關係：
（1）多邊形的對角線條數與邊數；（2）三角形面積與它的底邊長；（3）x-y=3中的x與y；（4）中的y與x；（5）圓面積與圓的半徑。其中構成函式關係的有（ ）
a．2個 b.3個 c.4個 d.5個
2．分別指出下列關係式中的自變數、因變數與常量：
（1）圓的面積公式（s是面積，r是半徑）；
（2）正多邊形的內角公式（是正多邊形的乙個內角的度數，n為正多邊形的邊數）。
3．已知等腰△abc的周長為10cm，底邊bc長為ycm，腰ab長為xcm。
（1）寫出y與x的函式關係式；（2）求x的取值範圍；（3）求y的取值範圍。
4．王婆婆想修建乙個長方形的養雞場，養雞場一邊靠牆，另三邊利用總長60m的竹籬笆圍成。（1）寫出長方形面積s(m2)與平行於牆的一邊長a（m)之間的函式關係式；（2）寫出長方形面積s(m2)與垂直於牆的一邊長b（m)之間的函式關係式。
二、新知講解、一次函式與正比例函式：
一般地，若兩個變數x，y間的關係式可以表示成： ，(其中為常數，且 ≠0)的形式，則稱是的一次函式(是自變數，為因變數)。特別地，當時，則是的函式。
例：1.在函式：(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)中，是一次函式的有是正比例函式的有
例2.若函式是一次函式，則應滿足的條件是若是正比例函式，則應滿足的條件是
題型一、一次函式與正比例函式的識別
1、當k時，是一次函式；
2、當m時，是一次函式；
3、當m時，是一次函式；
4、2y-3與3x+1成正比例，且x=2,y=12,則函式解析式為
例3.當時，函式是關於的一次函式。
例4.一輛汽車在行駛過程中，路程 y（千公尺）與時間 x（小時）之間的函式關係如圖所示當0≤x≤1時，y關於x的函式解析式為 y = 60 x，那麼當 1≤x≤2時，求y關於x的函式解析式。
題型二、待定係數法求解析式
方法：依據兩個獨立的條件確定k,b的值，即可求解出一次函式y=kx+b（k≠0）的解析式。
☆ 已知是直線或一次函式可以設y=kx+b（k≠0）；
☆ 若點在直線上，則可以將點的座標代入解析式構建方程。
1、若函式y=3x+b經過點（2，-6），求函式的解析式。
2、直線y=kx+b的影象經過a（3，4）和點b（2，7），
3、如圖1表示一輛汽車油箱裡剩餘油量y（公升）與行駛時間x（小時）之間的關係．求油箱裡所剩油y（公升）與行駛時間x（小時）之間的函式關係式，並且確定自變數x的取值範圍。
當堂練習：
1、下列函式中，哪些是一次函式？哪些是正比例函式？
（12）＝－； （3）＝－2－1； （4）＝－3－；
（5）＝2－（－1）（－2）； （6）2－＝1。一次函式是正比例函式是
2、已知函式y=(k-1)x+k2-1，當k_____時，它是一次函式，當k=_____時，它是正比例函式．
3、若是關於x的一次函式，則m的取值範圍是 ，n的取值範圍是 ．
4、為何值時，函式＝（＋1）＋－1是一次函式，它是正比例函式嗎？
5、若函式y=4x+b經過點（2，-8，求函式的解析式。
6、直線y=kx+b的影象經過a（2，6）和點b（5，10），求函式的解析式。
7、已知＋與＋（、為常數）成正比例，試判斷與成什麼函式關係；若＝3時＝5；＝5時＝11，試求出與之間的函式表示式。
8、已知直線＝2＋1。（1）求已知直線與軸的交點a的座標；（2）若直線＝＋與已知直線關於軸對稱，求和。
9、已知一次函式＝＋的圖象經過點a（3，0），與軸交於點b，若△aob的面積為6，試求這樣的一次函式的解析式。
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