機械能守恆定律典型例題剖析

例1、如圖示，長為l 的輕質硬棒的底端和中點各固定乙個質量為m的小球，為使輕質硬棒能繞轉軸o轉到最高點，則底端小球在如圖示位置應具有的最小速度v

解：系統的機械能守恆，δep +δek=0

因為小球轉到最高點的最小速度可以為0 ，所以，

例 2. 如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角θ=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細線跨過定滑輪，兩端分別與物塊a和b鏈結，a的質量為4m，b的質量為m，開始時將b按在地面上不動，然後放開手，讓a沿斜面下滑而b上公升。

物塊a與斜面間無摩擦。設當a沿斜面下滑s 距離後，細線突然斷了。求物塊b上公升離地的最大高度h.

解：對系統由機械能守恆定律

4mgssinθ – mgs = 1/2× 5 mv2

∴ v2=2gs/5

細線斷後，b做豎直上拋運動，由機械能守恆定律

mgh= mgs+1/2× mv2

∴ h = 1.2 s

例 3. 如圖所示，半徑為r、圓心為o的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上．一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環的大小。

（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側θ=30°的位置上(如圖)．在兩個小圓環間繩子的中點c處，掛上乙個質量m=m的重物，使兩個小圓環間的繩子水平，然後無初速釋放重物m．設繩子

與大、小圓環間的摩擦均可忽略，求重物m下降的最大距離．

（2）若不掛重物m．小圓環可以在大圓環上自由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處於平衡狀態?

解：(1)重物向下先做加速運動，後做減速運動，當重物速度

為零時，下降的距離最大．設下降的最大距離為h ，

由機械能守恆定律得

解得（另解h=0捨去）

(2)系統處於平衡狀態時，兩小環的可能位置為

a．兩小環同時位於大圓環的底端．

b．兩小環同時位於大圓環的頂端．

c．兩小環乙個位於大圓環的頂端，另乙個位於大圓環的底端．

d．除上述三種情況外，根據對稱性可知，系統如能平衡，則兩小圓環的位置一定關於大圓環豎直對稱軸對稱．設平衡時，兩小圓環在大圓環豎直對稱軸兩側α角的位置上(如圖所示)．

對於重物，受繩子拉力與重力作用，有t=mg

對於小圓環，受到三個力的作用，水平繩的拉力t、豎直繩子的拉力t、大圓環的支援力n.

兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反

得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °

例 4. 如圖質量為m1的物體a經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體b相連，彈簧的勁度係數為k，a、b都處於靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體a，另一端連一輕掛鉤。

開始時各段繩都牌伸直狀態，a上方的一段沿豎直方向。現在掛鉤上掛一質量為m3的物體c時b恰好不上公升。若將c換成另乙個質量為(m1+m3)物體d，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次b剛離地時d的速度的大小是多少？

已知重力加速度為g。

解:開始時，b靜止平衡，設彈簧的壓縮量為x1,

掛c後，當b剛要離地時，設彈簧伸長量為x2，有

此時，a和c速度均為零。從掛c到此時，根據機械能守恆定律彈簧彈性勢能的改變量為

將c換成d後，有

聯立以上各式可以解得