數列求和方法
等差數列、等比數列的求和是高考常考的內容之一，一般數列求和的基本思想是將其通項變形，化歸為等差數列或等比數列的求和問題，或利用代數式的對稱性，採用消元等方法來求和.
下面我們結合具體例項來研究求和的方法.
一、直接求和法（或公式法）
將數列轉化為等差或等比數列，直接運用等差或等比數列的前n項和公式求得.
例1 求．
解：原式．
由等差數列求和公式，得原式．
二、倒序相加法
此方法源於等差數列前n項和公式的推導，目的在於利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡後求和.
例2 求的和．
分析：由於數列的第項與倒數第項的和為常數1，故採用倒序相加法求和．
解：設則．
兩式相加，得 ．
小結：對某些具有對稱性的數列，可運用此法.
三、裂項相消法
如果乙個數列的每一項都能化為兩項之差，而前一項的減數恰與後一項的被減數相同，一減一加，中間項全部相消為零，那麼原數列的前n項之和等於第一項的被減數與最末項的減數之差.多用於分母為等差數列的相鄰k項之積，且分子為常數的分式型數列的求和.
例3 已知，
求的和．
分析：首先將數列的通項公式化簡，然後注意到它可寫成兩項的差，在求和的過程中，中間的項相互抵消了，從而可求出原數列的前n項和.
解：，小結：如果數列的通項公式很容易表示成另乙個數列的相鄰兩項的差，即，則有.這種方法就稱為裂項相消求和法.
四、錯位相減法
源於等比數列前n項和公式的推導，對於形如的數列，其中為等差數列，為等比數列，均可用此法.
例4 求的和．
解：當時，；
當時，．
小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和公式求和.
五、分組求和法
若數列的通項是若干項的代數和，可將其分成幾部分來求.
例5 求數列，的前項和．
分析：此數列的通項公式是，而數列是乙個等差數列，數列是乙個等比數列，故採用分組求和法求解．
解：．小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那麼我們就用此方法求和.
求通項公式的十種方法
一、公式法
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
二、利用
例2．若和分別表示數列和的前項和，對任意正整數
，.求數列的通項公式；
解： ……2分當
當……4分
練習：1. 已知正項數列，其前n項和sn滿足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列的通項an
解: ∵10sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
當a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數列∴a1≠3;
當a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
2．（2023年全國卷i）設數列的前項的和
， （ⅰ）求首項與通項；
（ⅱ）設，，證明：
解：（i），解得：
所以數列是公比為4的等比數列
所以：得： （其中n為正整數）
（ii）
所以：三、累加法
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例4 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例5已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，故因此，
則評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
四、累乘法
例6 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例7已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為 ①
所以 ②
用②式－①式得則故
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，從而可得當的表示式，最後再求出數列的通項公式。
五.構造等差或等比或
例8（2023年福建卷）已知數列滿足
求數列的通項公式；
解：是以為首項，2為公比的等比數列。
即例9．已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以練習. 已知數列滿足，且。
（1）求；
（2）求數列的通項公式。
解： （1）
（2）∴六、待定係數法
例10已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
七、對數變換法
例13 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式，得，兩邊消去並整理，得，則
，故代入式，得
由及式，
得，則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此
則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
八、迭代法
例14已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。
九、數學歸納法
例15已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當時，，所以等式成立。
（2）假設當時等式成立，即，則當時，
由此可知，當時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最後再用數學歸納法加以證明。
十、換元法
例16已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得
。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關係式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
數列求和與求通項公式方法總結 已打
一 公式法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和公式 2 等比數列的求和公式 例1.求和 1 1 2 3 n 2 二 分組求和法 若乙個數列由兩個特殊數列相加減而得到，則分別對兩個特殊數列求和之後相加減得到該數列的和。例2.求和 1 2 求 3 求 三 裂項相消法 把數列的通項拆...
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