專題一極限、連續
1：「」型函式的極限
[1]分子或分母先因式分解，然後約分求值（分子和分母均為有理式）
例1求[2]有理化分子或分母，然後約分求值
公式：例2求極限
(12)
[3]利用等價無窮小替換求極限
常見的等價無窮小：變數在變化的過程中，下列各式左邊均為無窮小，則
tan□～□ ③arcsinarctan□～□
⑤ln(11～□ ⑦1-cos□～ ⑧(1+□) -1～α□
等價無窮小替換的原則：①只對函式的因子可作等價無窮小替換
②該因子首先必須是無窮小量
例3求極限(12）
2：「」 型 （分子和分母同時除以變數x的次數最高項）
[1]分子和分母均為有理式
例4求極限
(12)
[2]分子和分母均為根式
例5求極限
3：「」型
[1]通分後，利用因式分解約分等方式求值
例6求極限
[2]有理化分子，利用「」型的方法求值
例7求極限
4：「」型 （公式的利用）
分析：①判斷是否是「」型
②轉換成（1+□）的形式
③則[（1+□）]
例8求極限
（1） (2) ,求
5：無窮小量和有界函式的乘積為無窮小量
例9求極限
6：用羅必達法則求極限
注意: ①零因式最好先用等價無窮小替換
②非零因式的極限可以先求出來
[1]「」型和「」型 （）
例10求極限
(12）
（34）
（5）（6）設在連續，，為常數，求
[2] 「」 型
= 其中f(x)→0 , g(x)→∞
注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，則該函式一般在分子
②分母一般較分子簡單
例12求極限
(12）（討論）
[3] 「」 型﹑「」 型﹑「」 型
例13求極限
(12（3），求
[4] 「」 型
分析：一般採用通分的方式轉化為「」型和「」型，然後利用羅必達法則及等價無窮小替換求極限
例14求極限
(1) （2）(令)
7:不能用羅必達法則求解的「」型和「」型
分析：一般採用等價無窮小替換和無窮小量和有界函式的乘積為無窮小量
例15求極限
8:利用麥克勞林公式求函式的極限
注意:下列公式中,
(12)
(3) (4)
(5)例16求極限
（1） （2）
（3） （4）
9:利用定積分的定義求極限
方法：如果存在，則
例17求極限
（1）解： （2）
解： （3）
解：因為由於故
10:利用級數收斂的必要條件求極限
方法：如果級數收斂，則
例18求極限（1）
解：令則
故級數收斂，則
（2）（同上）
11:利用夾逼準則求極限
例19（1）求極限
(2)12:已知數列的遞推式，證明數列極限存在，並求極限
方法：利用「單調有界函式必有極限」處理
（1）由先判斷數列單調，即判斷的正、負或判斷比1大還是小
（2）假設的極限存在，並估算極限，計算判斷數列有界
（3）求數列的極限
例20（1）求極限，，，…….
解：因為
由於和同號，依次類推可知和同號，故
，即，數列單調增加
又因為依次類推知和同號，即且，故數列單調有界必有極限
設，則由知得，即
注意：這裡為什麼用和3比較大小判斷數列有界呢？因為我們首先假設數列有極限時，算出它的極限為3，然後用和3比較。
（2）設，（），求
分析：可用均值定理確定上、下界
解：因為
所以數列有下界，又因為
故數列單調減少，有極限為
(3)設,證明數列、收斂，並且有相同的極限
解：因為，，
所以即又因為
即數列有上界因為而
即數列有下界，故
，故兩個數列極限都存在
設和有， 求得
13:利用冪級數的和函式求極限
例21求極限
14：利用積分中值定理求極限
例22求
15：利用左右極限的定義求函式的極限
例23（1）（2）
16：利用導數定義、羅必達法則、麥克勞林公式求含有抽象函式的極限
常用方法：
（1）如果，且，則
（2）利用等價無窮小替換
（3）函式在處可導函式在處連續，即
（4）利用導數的定義，即，其中
例24（1）設連續，，求
解：因為且，所以
而連續，故即
（2）設f(x)在x=a可導，f(a)>0，求
解：（3）設在連續，且，求
解：因為且，所以
即又因為在連續，所以
，故=4
（4）已知，則
分析：，則
所以（5）設在點二階可導，且，求和的值
分析：因為在點二階可導，故連續，由於且，故，即
用羅比達法則，所以
（6）為常數，可導
分析：（7）設在的某個鄰域內有連續導數，且，求，
（8）設在上可導上可導且恆正，，又，求
（9）設存在，則
（1） （2）
（10）連續，，，求
分析：由知，由知而故
17已知極限，求待定係數的值
[1]已知且，則(注意羅必達法則)
例25(1)已知求a,b
(2)已知求a,c的關係
(3) 已知求a,b
[2]例26已知求a,b
[3](注意羅必達法則的應用)
例27已知,求a,b
18：用極限表示的函式
例28（1）討論函式的連續性
(2) 設，如在處可導，求
19：求函式的間斷點並判斷間斷點的型別
例29（12）
注意：1、尤拉公式，其中，為尤拉常數
求極限2、利用公式（1），則
2），則
求極限3、利用求極限
求極限4、幾種常見的極限
（1）（2）（）（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
專題二導數、微分
1、利用導數定義求函式極限
如果存在
注意：分子中的「口」和分母中的「口」應一致，且符號也相同
例1設在點可導，求下列極限
（1）（2）設，其中有二階導數，求
2、利用定義求函式的導數
例2 (1) 設，求
解：由於，則
故因為在處二階可導，故、在處連續，即、所以
注意：函式僅在處存在二階導數，故求時不能直接利用求導公式。
（2）設週期函式的週期為5，可導，如，求曲線
在點處的切線方程。
解：因為函式的週期為5，故
而故，即所以在點處的切線為
（3）設，，求
解： 3、求含有絕對值的函式和分段函式的導數
分析: 含有絕對值的函式可轉化為分段函式
分析:（1）當x>a 當x（2）當x=a
（3）如則存在,且=b.否則不存在
（4）寫出的解析式
例3（1）已知 ,求的導數
（2）設在點可導，且，求在點可導的充要條件
（3）已知 ,則是否存在
（4）設，其中，，求
解：當時，；當時，，故
因為，故不存在，即
4、分段函式在分段點處的導數存在,求待定係數
已知在處可導,求中的待定係數
分析：（1）在處可導,則在處連續,即﹡
（2）求, ,而 ﹟
（3）由﹡和﹟,求待定係數
例4已知在處可導, 求a,b
5、求分段函式的導數,並會討論導數在分段點處的連續性
函式 ,求,並討論的連續性
分析:（1）先求 (見求導數部分)（2）然後討論在定義域內的連續性
例5設問如何選取a,b,c才能使f(x)處處具有一階連續導數，但在x=0處卻不存在二階導數。
6、利用導數求函式
例6（1）設f(x)在（0，+∞）內有定義，且，又對，有，求
解：令，有得 [1]
而2]由[1]、[2]得
注意：有乘積的，一般令、互為倒數
（2）設函式滿足等式，且存在，求
解：令， 則
有得1]
令有 [2]
由[1]、[2]得
有得令得即
注意：有和的，一般令、互為相反數；有差的，一般令、相等
7、已知方程在（或）上有若干個根，求待定係數的範圍
方法：（1）令並求
（2）當待定係數滿足條件時，（或），此時在（或）上單調，考察的正負性，判斷是否有唯一根
（3）找和不存在的點，再分區間討論
例7設時，方程有且只有一根，求的範圍
解：（1）當時，是方程的唯一根
（2）令則
當時， 即為單調遞減函式
故此時在時有唯一的根
（3）當時，令即得
時，為減函式；時，為增函式
又因為令得 故只有或時方程有唯一的根
8、求含有待定係數的方程在區間上的根的個數
例8（1）
解：令則
由=0 得，
當時，；當時，；當時，
；當時，有唯一根在上；當時，有唯一根在上；當時，有三個根分別在，，上
（2）解：令則
（1）當時，，即為增函式
因為；此時有一根
（2）當，有一根
（3）當，由得
時，；時，
因；；，即時有一根；，即時有兩根
17求函式的單調區間和極值（最值）
[1]方法：（1）確定函式的定義域
（2）求，在內求出不存在的點和的點
（3）判斷這些點左右的增減性
（4）求極值（5）再考慮函式在的端點處的取值，最終確定最值
例9（1）設在和兩點處取得極值，求
解： 因為函式在和兩點處取得極值，故
即得（2）設（），記求
解： 令即得
因為而故，即
(3) 設可導函式由所確定，討論的極值
解：兩邊對求導有得
令得把代入原方程有，
求，因為，所以在，處有極小值
（4）求數列中的最大項(提示：令)
（5）設函式，問為何值時，取極值
（提示：對每一段和分段點討論）
（6）求函f(x)=在[0，2]上的最大值與最小值。
（提示：利用變上限積分的求導討論）
[2]注意：
（1）如果存在，則（或）為函式的極值
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