數列專題
◆ 考點一：求數列的通項公式
1. 由an與sn的關係求通項公式
由sn與an的遞推關係求an的常用思路有：
①利用sn－sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關係，再求其通項公式；
數列的通項an與前n項和sn的關係是an＝當n＝1時，a1若適合sn－sn－1，則n＝1的情況可
併入n≥2時的通項an；當n＝1時，a1若不適合sn－sn－1，則用分段函式的形式表示．
②轉化為sn的遞推關係，先求出sn與n的關係，再求an.
2.由遞推關係式求數列的通項公式
由遞推公式求通項公式的常用方法:已知數列的遞推關係，求數列的通項公式時，通常用累加、累乘、構造法求解．
◆ 累加法：遞推關係形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通項；
◆ 累乘法：遞推關係形如＝f(n)，常用累乘法求通項；
◆ 構造法：1）遞推關係形如「an＋1＝pan＋q(p、q是常數，且p≠1，q≠0)」的數列求通項，此類通項問題，常用待定係數法．可設an＋1＋λ＝p(an＋λ)，經過比較，求得λ，則數列是乙個等比數列；
2）遞推關係形如「an＋1＝pan＋qn(q，p為常數，且p≠1，q≠0)」的數列求通項，此型別可以將關係式兩邊同除以qn轉化為型別(4)，或同除以pn＋1轉為用迭加法求解．
3）◆ 倒數變形
3.數列函式性質的應用
數列與函式的關係
數列是一種特殊的函式，即數列是乙個定義在非零自然數集或其子集上的函式，當自變數依次從小到大取值時所對應的一列函式值，就是數列．因此，在研究函式問題時既要注意函式方法的普遍性，又要考慮數列方法的特殊性．
函式思想在數列中的應用
(1)數列可以看作是一類特殊的函式，因此要用函式的知識，函式的思想方法來解決．
(2)數列的單調性是高考常考內容之一，有關數列最大項、最小項、數列有界性問題均可借助數列的單調性來解決，判斷單調性時常用：①作差；②作商；③結合函式圖象等方法．
（3)數列的最大(小)項的求法
可以利用不等式組找到數列的最大項；利用不等式組找到數列的最小項.
[例3] 已知數列．(1)若an＝n2－5n＋4，①數列中有多少項是負數？②n為何值時，an有最小值？並求出最小值．
(2)若an＝n2＋kn＋4且對於n∈n*，都有an＋1>an成立．求實數k的取值範圍．
◆ 考點二：等差數列和等比數列
1.在等差(比)數列中，a1，d(q)，n，an，sn五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個．解這類問題時，一般是轉化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關運算．
2.等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用．但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形．
3.用函式的觀點理解等差數列、等比數列
（1）對於等差數列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，當d≠0時，an是關於n的一次函式，對應的點(n，an)是位於直線上的若干個離散的點；
當d＞0時，函式是單調增函式，對應的數列是單調遞增數列，sn有最小值；
當d＝0時，函式是常數函式，對應的數列是常數列，sn=na1；
當d＜0時，函式是減函式，對應的數列是單調遞減數列，sn有最大值．
若等差數列的前n項和為sn，則sn＝pn2＋qn(p，q∈r)．當p＝0時，為常數列；當p≠0時，可用二次函式的方法解決等差數列問題．
（2）對於等比數列an＝a1qn－1，可用指數函式的性質來理解．
當a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時，等比數列是單調遞增數列；
當a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1時，等比數列是單調遞減數列；
當q＝1時，是乙個常數列；當q＜0時，無法判斷數列的單調性，它是乙個擺動數列．
4.常用結論
(1)若，均是等差數列，sn是的前n項和，則，{}仍為等差數列，其中m，k為常數．
(2)若,均是等比數列，則(c≠0)，，，(m為常數)，，{}等也是等比數列．
(3)公比不為1的等比數列，其相鄰兩項的差也依次成等比數列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數列，且公比為＝＝q.
(4)等比數列(q≠－1)中連續k項的和成等比數列，即sk，s2k－sk，s3k－s2k，…成等比數列，其公比為qk.
等差數列中連續k項的和成等差數列，即sk，s2k－sk，s3k－s2k，…成等差數列，公差為k2d.
5）5.易錯提醒
(1)應用關係式an＝時，一定要注意分n＝1，n≥2兩種情況，在求出結果後，看看這兩種情況能否整合在一起．
(2)三個數a，b，c成等差數列的充要條件是b＝，但三個數a，b，c成等比數列的必要條件是b2＝ac.
6.等差數列的判定方法
(1)定義法：對於n≥2的任意自然數，驗證an－an－1為同一常數；
(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈n*)成立；
(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q；
(4)前n項和公式法：驗證sn＝an2＋bn.
注意：在解答題中常應用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用於選擇題、填空題中的簡單判斷．
7.等比數列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數，n∈n*)或＝q(q為非零常數且n≥2，n∈n*)，則是等比數列．
(2)等比中項公式法：若數列中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈n*)，則數列是等比數列．
(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數，n∈n*)，則是等比數列．
(4)前n項和公式法：若數列的前n項和sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0,1)，則是等比數列．
注意：前兩種方法常用於解答題中，而後兩種方法常用於選擇、填空題中的判定.
◆ 考點三：數列求和中應用轉化與化歸思想的常見型別：
1.公式法——直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和
(1)等差數列的前n項和公式：sn＝＝na1＋d；
(2)等比數列的前n項和公式：sn＝
2.倒序相加法
如果乙個數列的前n項中首末兩端等「距離」的兩項的和相等或等於同乙個常數，那麼求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和即是用此法推導的．
3.錯位相減法
這是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中，分別是等差數列和等比數列．求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就適用此法．做法是先將和的形式寫出，再給式子兩邊同乘或同除以公比q，然後將兩式相減，相減後以「qn」為同類項進行合併得到乙個可求和的數列(注意合併後有兩項不能構成等比數列中的項，不要遺漏掉)．
4.裂項相消法(注重積累！！！)
利用通項變形，將通項**成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最後只剩下有限項的和．這種方法，適用於求通項為的數列的前n項和，其中若為等差數列，則＝.
利用裂項相消法求和時應注意哪些問題？
(1)在把通項裂開後，是否恰好等於相應的兩項之差；
(2)在正負項抵消後，是否只剩下了第一項和最後一項，或前面剩下兩項，後面也剩下兩項．常見的拆項公式
(1) ＝；(2) ＝；
(3) ＝－；(45) ＝ (－).
5.分組求和法:
乙個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和後再相加減．
6.併項求和法
乙個數列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為併項求和．形如an＝(－1)nf(n)型別，可採用兩項合併求解．
例如，sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
7.放縮法
是證明數列型不等式的壓軸題的最重要的方法,放縮法的注意問題以及解題策略
(1)明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結論，是小於某項，則放大，是大於某個項，則縮小。
(2)放縮的項數：有時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。
(3)放縮法的常見技巧及常見的放縮式：
（1）根式的放縮：；
（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；
真分數分子分母同時減乙個正數，則變大；，；假分數分子分母同時減乙個正數，則變小，如；
（3）應用基本不等式放縮：；
高中數學數列知識點總結
1.等差數列的有關概念 1 等差數列的判斷方法 定義法或。2 等差數列的通項 或。如等差數列中，則通項 3 等差數列的前和 4 等差中項 若成等差數列，則a叫做與的等差中項，且。提醒 1 等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素 及，其中 稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求...
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五 數列 一 數列定義 數列是按照一定次序排列的一列數，那麼它就必定有開頭的數，有相繼的第二個數，有第三個數，於是數列中的每乙個數都對應乙個序號 反過來，每乙個序號也都對應於數列中的乙個數。因此，數列就是定義在正整數集 或它的有限子集 上的函式，當自變數從1開始由小到大依次取正整數時，相對應的一列函...
高中數學數列知識點總結
一 基本公式 數列 的前項和與通項的關係 注意 1 該公式用於已知前項和sn求通項,對任何數列適用 2 首項要單獨計算或檢驗 例 已知數列的前項和，分別求其通項公式.解析 當，當 又不適合上式，故 二 等差數列基本方法 1.證明數列是不是等差數列有以下四種方法 遞推關係 定義 等差中項法 判斷方法 ...