一、數列
1.數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每個數稱為該數列的項.
⑴數列中的數是按一定「次序」排列的，在這裡，只強調有「次序」，而不強調有「規律」．因此，如果組成兩個數列的數相同而次序不同，那麼它們就是不同的數列．
⑵在數列中同乙個數可以重複出現．
⑶項a與項數n是兩個根本不同的概念．
⑷數列可以看作乙個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函式當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值，但函式不一定是數列
2.通項公式：如果數列的第項與序號之間可以用乙個式子表示,那麼這個公式叫做這個數列的通項公式，即.
3.遞推公式：如果已知數列的第一項（或前幾項），且任何一項與它的前一項（或前幾項）間的關係可以用乙個式子來表示，即或，那麼這個式子叫做數列的遞推公式.
如數列中，，其中是數列的遞推公式.
4.數列的前項和與通項的公式
①；②.
5.數列的表示方法：解析法、影象法、列舉法、遞推法.
6.數列的分類：有窮數列，無窮數列；遞增數列，遞減數列，擺動數列，常數數列；有界數列，無界數列.
①遞增數列:對於任何,均有.
②遞減數列:對於任何,均有.
③擺動數列:例如:
④常數數列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界數列:存在正數使.
⑥無界數列:對於任何正數,總有項使得.
1、已知，則在數列的最大項為__（答：）；
2、數列的通項為，其中均為正數，則與的大小關係為___（答：）；
3、已知數列中，，且是遞增數列，求實數的取值範圍（答：）；4、一給定函式的圖象在下列圖中，並且對任意，由關係式得到的數列滿足，則該函式的圖象是 （）（答：a）
二、等差數列
1、 等差數列的定義：如果數列從第二項起每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等差數列，這個常數叫等差數列的公差。即.(或).
2、 （1）等差數列的判斷方法：
①定義法：為等差數列。
②中項法：為等差數列。
③通項公式法：（a,b為常數）為等差數列。
④前n項和公式法：（a,b為常數）為等差數列。
如設是等差數列，求證：以bn=為通項公式的數列為等差數列。
（2）等差數列的通項：或。公式變形為:.其中a=d,b=－d.
如1、等差數列中，，，則通項 （答：）；2、首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值範圍是______（答：）
（3）等差數列的前和：，。公式變形為：，其中a=，b=.注意：已知n,d,,,中的三者可以求另兩者，即所謂的「知三求二」。
如數列中，，，前n項和，則＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知數列的前n項和，求數列的前項和（答：）.
（4）等差中項：若成等差數列，則a叫做與的等差中項，且。
提醒：（1）等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。
只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；偶數個數成等差，可設為…，,…（公差為2）
3.等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關於的一次函式，且斜率為公差；前和是關於的二次函式且常數項為0.等差數列中，是n的一次函式，且點（n，）均在直線p=p+(a－)上
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）對稱性：若是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項之和都等於首末兩項之和.當時,則有，特別地，當時，則有.
如1、等差數列中，，則＝____（答：27）；
2、在等差數列中，，且，是其前項和，則a、都小於0，都大於0 b、都小於0，都大於0 c、都小於0，都大於0 d、都小於0，都大於0 （答：b）
(4)項數成等差,則相應的項也成等差數列.即成等差.若、是等差數列，則、(、是非零常數)、、（公差為）．，…也成等差數列，而成等比數列；若是等比數列，且，則是等差數列.
如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為答：225）
（5）在等差數列中，當項數為偶數時，；；.
項數為奇數時，；；。
如1、在等差數列中，s11＝22，則＝______（答：2）；
2、項數為奇數的等差數列中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數（答：5；31）.
（6）單調性：設d為等差數列的公差，則
d>0是遞增數列；d<0是遞減數列；d=0是常數數列
(7)若等差數列、的前和分別為、，且，則.
如設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那麼答：）
（8）設a，a，a為等差數列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（≠－1），則a=．
（9）在等差數列中，s=a，s=b(n＞m)，則s=(a－b)．
8、已知成等差數列，求的最值問題：
1 若,d<0且滿足,則最大；
②若,d>0且滿足,則最小.
「首正」的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；「首負」的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：
因等差數列前項是關於的二次函式，故可轉化為求二次函式的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函式思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
如1、等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？並求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；
2、若是等差數列，首項，
，則使前n項和成立的最大正整數n是答：4006）
(10)如果兩等差數列有公共項，那麼由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究.
三、等比數列
1、等比數列的有關概念：如果數列從第二項起每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫等比數列的公比。即（或
2、等比數列的判斷方法：定義法，其中或
。如1、乙個等比數列{}共有項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則為____（答：）；
2、數列中，=4+1()且=1，若，求證：數列｛｝是等比數列。
3、等比數列的通項：或。
如設等比數列中，，，前項和＝126，求和公比.（答：，或2）
4、等比數列的前和：當時，；當時，。如等比數列中，＝2，s99=77，求（答：44）
提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
5、等比中項：如果a、g、b三個數成等比數列，那麼g叫做a與b的等比中項，即g=.提醒：
不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數的等差中項為a，等比中項為b，則a與b的大小關係為______（答：a＞b）
提醒：（1）等比數列的通項公式及前項和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。
只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為…，…（公比為）；但偶數個數成等比時，不能設為…，…，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為。如有四個數，其中前三個數成等差數列，後三個成等比數列，且第乙個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：
15，,9，3,1或0,4，8,16）
6、等比數列的性質：
（1）對稱性：若是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項之積都等於首末兩項之積.即當時，則有，特別地，當時，則有.如1、在等比數列中，，公比q是整數，則=___（答：512）；
2、各項均為正數的等比數列中，若，則 （答：10）。
(2)若是公比為q的等比數列，則、、、{}也是等比數列，其公比分別為|q|}、、、{}。若成等比數列，則、成等比數列；若是等比數列，且公比，則數列，…也是等比數列。當，且為偶數時，數列，…是常數數列0，它不是等比數列.
若是等比數列，且各項均為正數，則成等差數列。若項數為3n的等比數列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為s與t，次n項和與次n項積分別為s與t，最後n項和與n項積分別為s與t，則s，s，s成等比數列，t，t，t亦成等比數列
如1、已知且，設數列滿足，且，則 .（答：）；
2、在等比數列中，為其前n項和，若，則的值為______（答：40）
(3)單調性：若，或則為遞增數列；若,或則為遞減數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(4)當時，，這裡，但，這是等比數列前項和公式的乙個特徵，據此很容易根據，判斷數列是否為等比數列。如若是等比數列，且，則＝ （答：－1）
(5).如設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為_____（答：－2）
(6)在等比數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，.
(7)如果數列既成等差數列又成等比數列，那麼數列是非零常數數列，故常數數列僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。
如設數列的前項和為（），關於數列有下列三個命題：①若，則既是等差數列又是等比數列；②若，則是等差數列；③若，則是等比數列。這些命題中，真命題的序號是答：②③）
⑧等差數列中，sm+n=sm+sn+mnd；等比數列中，sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn；
四、難點突破
1．並不是所有的數列都有通項公式，乙個數列有通項公式在形式上也不一定唯一．已知乙個數列的前幾項，這個數列的通項公式更不是唯一的．
2．等差(比)數列的定義中有兩個要點：一是「從第2項起」，二是「每一項與它前一項的差(比)等於同乙個常數」．這裡的「從第2項起」是為了使每一項與它前面一項都確實存在，而「同乙個常數」則是保證至少含有3項．所以，乙個數列是等差(比)數列的必要非充分條件是這個數列至少含有3項．
3．數列的表示方法應注意的兩個問題：⑴與a是不同的，前者表示數列a，a，…，a，…，而後者僅表示這個數列的第n項；⑵數列a，a，…，a，…，與集合不同，差別有兩點：數列是一列有序排布的數，而集合是乙個有確定範圍的整體；數列的項有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性．
高中數學數列知識點總結
1.等差數列的有關概念 1 等差數列的判斷方法 定義法或。2 等差數列的通項 或。如等差數列中，則通項 3 等差數列的前和 4 等差中項 若成等差數列，則a叫做與的等差中項，且。提醒 1 等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素 及，其中 稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求...
高中數學數列知識點總結
五 數列 一 數列定義 數列是按照一定次序排列的一列數，那麼它就必定有開頭的數，有相繼的第二個數，有第三個數，於是數列中的每乙個數都對應乙個序號 反過來，每乙個序號也都對應於數列中的乙個數。因此，數列就是定義在正整數集 或它的有限子集 上的函式，當自變數從1開始由小到大依次取正整數時，相對應的一列函...
高中數學數列知識點總結
一 基本公式 數列 的前項和與通項的關係 注意 1 該公式用於已知前項和sn求通項,對任何數列適用 2 首項要單獨計算或檢驗 例 已知數列的前項和，分別求其通項公式.解析 當，當 又不適合上式，故 二 等差數列基本方法 1.證明數列是不是等差數列有以下四種方法 遞推關係 定義 等差中項法 判斷方法 ...