第二十四章圓
1. 知識總結
一、圓1．在乙個______內，線段oa繞它固定的乙個端點o______，另乙個端點a所形成的______叫做圓．這個固定的端點o叫做______，線段oa叫做______．以o點為圓心的圓記作______，讀作______．
2．由圓的定義可知：
(1)圓上的各點到圓心的距離都等於________；在乙個平面內，到圓心的距離等於半徑長的點都在________．因此，圓是在乙個平面內，所有到乙個________的距離等於________的________組成的圖形．
(2)要確定乙個圓，需要兩個基本條件，乙個是________，另乙個是________，其中，________確定圓的位置，______確定圓的大小．
3．鏈結的叫做弦．經過________的________叫做直徑．並且直徑是同一圓中的弦．
4．圓上的部分叫做圓弧，簡稱________，以a，b為端點的弧記作________，讀作________或________．
5．圓的________的兩個端點把圓分成兩條弧，每________都叫做半圓．
6．在乙個圓中叫做優弧叫做劣弧．
7．圓是______對稱圖形，它的對稱軸是圓又是______對稱圖形，它的對稱中心是
8．垂直於弦的直徑的性質定理是
9．平分________的直徑________於弦，並且平分
10的叫做圓心角．
11．如圖，若長為⊙o周長的，則∠aob
12．在同圓或等圓中，兩個圓心角及它們所對的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那麼
13．在圓中，圓心與弦的距離(即自圓心作弦的垂線段的長)叫做弦心距，不難證明，在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼它們的弦心距也______．反之，如果兩條弦的弦心距相等，那麼
14在圓上，並且角的兩邊都_________的角叫做圓周角．
15．在同一圓中，一條弧所對的圓周角等於_________圓心角的
16．在同圓或等圓中所對的圓周角
17所對的圓周角是直角．90°的圓周角______是直徑．
二、與圓有關的位置關係
1．點和圓的位置關係
點在圓內 d＜r ； 點在圓上 d=r ； 點在圓外 d＞r.
2．三角形的內心和外心
（1）確定圓的條件：不在同一直線上的三個點確定乙個圓．
（2）三角形的外心：三角形的三個頂點確定乙個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）三角形的內心：和三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心
（4）等邊三角形的外心與內心重合；內切圓半徑與外接圓半徑的比是1:2.
3．直線和圓的位置關係
直線與圓相交 d＜r ； 直線與圓相切 d=r ； 直線與圓相離 d＞r.
4．切線的識別方法：
（1）與圓有乙個公共點的直線
（2）圓心到直線的距離等於圓的半徑的直線是圓的切線
（3）經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
5．圓的切線的性質
（1）經過切點的直徑一定垂直於切線
（2）經過切點並且垂直於這條切線的直線一定經過圓心
6．切線長定理
（1）切線長：
從圓外一點引圓的兩條切線，切點與這點之間連線段的長叫這個點到圓的切線長
（2）切線長定理
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；
這點與圓心的連線平分這兩條切線的夾角.
7．補充知識
（1）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦.
如圖，bc切⊙o於點b，ab為弦，∠abc叫弦切角，∠dbc=∠a.
（2）相交弦定理
如圖，圓的兩條弦ab與cd相交於點p，則pa·pb=pc·pd
（3）切割線定理
如圖，pa切⊙o於點a，pbc是⊙o的割線，則pa2=pb·pc
（4）推論：如圖，pab、pcd是⊙o的割線，則pa·pb=pc·pd
8．圓與圓的位置關係
（1）沒有______的兩個圓叫做這兩個圓相離．當兩個圓相離時，如果其中乙個圓在另乙個圓的______，叫做這兩個圓外離；如果其中有乙個圓在另乙個圓的______，叫做這兩個圓內含．
（2的兩個圓叫做這兩個圓相切．這個公共點叫做______．當兩個圓相切時，如果其中的乙個圓(除切點外)在另乙個圓的______，叫做這兩個圓外切；如果其中有乙個圓(除切點外)在另乙個圓的______，叫做這兩個圓內切．
（3）______的兩個圓叫做這兩個圓相交，這兩個公共點叫做這兩個圓的______以這兩個公共點為端點的線段叫做兩圓的______．
（4）兩圓外離 d＞r+r； 兩圓外切 d=r+r； 兩圓相交 r-r＜d＜r+r；
兩圓內切 d=r-r； 兩圓內含 d＜r-r.
2. 練習題
一、選擇題
1．已知圓的半徑為，圓心到直線的距離為，那麼這條直線和這個圓的公共點的個數是（ ）
a．0 b．1 c．2 d．不能確定
2．已知兩圓的半徑分別為5和2，圓心距為3，那麼這兩個圓的位置關係是( )
a．內含 b．內切 c.相交 d．外切
3．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是( )
a．等腰梯形 b．平行四邊形 c. 等邊三角形 d．圓
4．如圖，⊙o外置於△abc，ad為⊙o的直徑，∠abc=30°，則∠cad的度數（ ）
a．30° b．40° c．50° d．60°
5．rt△abc中，∠c=90°，ab=5，內切圓半徑為1，則三角形的周長為（ ）
a．15 b．12 c．13 d．14
6．下列命題是真命題的是（ ）
a．垂直於圓的半徑的直線是圓的切線 b．經過半徑外端的直線是圓的切線
c．直線上一點到圓心的距離等於圓的半徑的直線是圓的切線
d．到圓心的距離等於圓的半徑的直線是圓的切線
7.在半徑為1的⊙o中，弦ab＝1，則弧ab的長是( )
a. b. c. d.
8．如果扇形的圓心角為150°，扇形面積為240cm2，那麼扇形的弧長為( )
a．5cm b．10cm c．20cm d．40cm
9．⊙o的半徑為3cm，點m是⊙o外一點，om=4cm，則以m為圓心且與⊙o相切的圓的半徑是（ ）
a．1cm b．7cm c． 1cm或7cm d．不確定
10．下列命題中是真命題有 （ ）
(1) 兩個端點能夠重合的弧是等弧 （2）圓的任意一條弦必定把圓分成劣弧和優弧兩部分
（3）經過平面上任意三點可作乙個圓 （4）任意乙個圓有且只有乙個內接三角形
（5）三角形的外心到各頂點距離相等
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
二、填空題
11.半徑為5cm的⊙o外一點p，則以點p為圓心且與⊙o相切的⊙p能畫______個．
12.點p在⊙o內，op＝2cm，若⊙o的半徑是3 cm，則過點p的最短的弦的長度為
13. 半徑是5cm的圓中，圓心到8cm長的弦的距離是
14. 如圖，在⊙o中，ab為直徑，∠acb的平分線交⊙o於d，則∠abd= °
15.邊長為2的等邊三角形abc內接於⊙ｏ，則圓心ｏ到 △abc一邊的距離為 。
16.如圖，ab、ac是⊙o的兩條切線，切點分別為b、c，d是優弧bdc 上的一點，已知∠bac=80°，那麼∠bdc= °
14題 16題
17.兩圓的半徑比是5:3，外切時圓心距是32cm的,當兩圓內切時， 圓心距為________cm
18.若兩圓半徑分別為r、（），圓心距為，且，則兩圓的位置關係為 。
19.⊙o和⊙o的半徑分別為8和5，兩圓沒有公共點，則圓心距oo的取值範圍是。
20.已知圖中各圓兩兩相切，⊙o的半徑為2r，⊙o1、⊙o2的半徑為r，則⊙o3的半徑為 。
三、解答題
21. 如圖，已知弦ab與半徑相等，鏈結ob，並延長使bc=ob．
（1）問ac與⊙o有什麼關係．
（2）請你在⊙o上找出一點d，使ad=ac（自己完成作圖，並證明你的結論）．
22. 如圖，已知扇形aob的半徑為12，oa⊥ob，c為ob上一點，以oa為直徑的半圓o1與以bc為直徑的半圓o2相切於點d．求圖中陰影部分面積．
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