2.1函式
一、課本掃瞄
二、基本概念
（一）對映的概念
1、對應
對應和集合一樣，是乙個不加定義的原始概念，對應是兩個集合中元素之間的一種關係，對應可以用圖示的方法或對應關係來表示。
圖1-1
如圖1-1所示，設是兩個集合，如果從集合到集合有乙個對應，從對應元素的個數看，中元素既可以與中乙個元素對應，也可以與中多個元素對應，同時，中元素也可以在中沒有與之對應的元素，同樣，中元素也如此。
2、對映
一般地，設是兩個集合，如果按照某種對應關係，對於集合中任何乙個元素，在集合中都有唯一的元素與它對應，那麼這樣的對應（包括集合以及到的對應關係）叫做集合到集合的對映，記作。
由對映定義可知：圖1-1中（1）、（3）兩個對應是集合到集合的對映，圖1-1中（2）不是集合到集合的對映，因為中元素在中有兩個元素與之對應，不符合對映定義中「唯一性」的要求，圖1-1中（4）也不是集合到集合的對映，因為中元素在中沒有元素與之對應。
3、象與原象
若是從集合到集合的對映，那麼中元素對應中的元素叫做的象，叫做的原象，這一關係記為，也可寫為：。如圖1-1中（3）所示對映，對應的象為，的原象為和。
4、理解對映的概念應注意：
（1）集合及對應關係是確定的，是乙個系統；
（2）對應關係有「方向性」。即強調從集合到集合的對應，它與從到的對應關係一般是不同的；
（3）集合中每乙個元素，在集合中都有象，並且象是唯一的，這是對映區別於一般對應的本質特徵；
（4）集合中不同元素，在集合中對應的象可以是同乙個；
（5）不要求集合中的每乙個元素在集合中都有原象；
（6）兩個對映和相等，等價於且對於中任意，滿足。
（二）函式的概念
1、函式的定義
在某變化過程中有兩個變數與，如果對於在某一範圍內的每乙個確定的值，都有唯一確定的值與它對應，那麼就稱是的函式，記為，叫做自變數。自變數的取值的集合叫做函式的定義域，自變數對應的函式的值叫函式值，函式值的集合叫值域。
函式的概念中含有三個要素：定義域，對應關係，函式值域。
2、函式的定義域
函式的定義域是自變數的取值範圍，它是構成函式的乙個不可缺少的組成部分，如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函式解析式有意義的的取值範圍或使實際問題有意義的的取值範圍，如的定義域為的定義域為的定義域為，位移與時間的函式的定義域為。
（1）使解析式有意義的常見形式有：
具體說來，求函式的定義域或者說使這個解析式有意義的自變數的取值範圍，主要有以下幾種型別：①分母不分零；②偶次根式中，被開方式非負；③零的零次冪無意義。
（2）函式等的定義域都是指的自變數本身的值的集合，一般地，函式的定義域，指的是自變數的取值範圍。例如，若已知的定義域為，則的定義域是指滿足。的的取值範圍。
（3）對於由實際問題建立的函式，除考慮使其解析式有意義外，函式的定義域也要符合實際問題的要求。
3、對應關係
對應關係是函式關係的本質特徵。的意義是：等於在關係下的對應值，而是「對應」得以實現的方法和途徑，如一次函式表示3倍加4，。
4、值域
由函式定義可知，函式值的集合叫做值域。
求函式的值域，不但要重視對應關係的作用，而且要特別注意定義域對值域的制約作用，要求函式的值域，首先應求函式的定義域，求函式值域常用方法有：①觀察法；②圖象法；③配方法；④分離常量法；⑤換元法；⑥判別式法；⑦單調性法；⑧反函式法；⑨基本不等式法（這些方法都將在本章中講到⑨會在不等式章節中予以介紹）。
5、函式的相等
當函式的定義域及從定義域到值域的對應關係完全確定之後，函式的值域也會隨之確定，因此，定義域和對應關係是函式的兩個基本條件，當且僅當兩個函式的定義域和對應關係都分別相等時，兩個函式才是同一函式。
6、復合函式
一般地，如果函式的定義域為，函式的定義域為，值域為，則當時，稱函式為與在上關於的復合函式，其中叫中間變數，叫內層函式，叫外層函式。
7、分段函式
有些函式在它的定義域中，對於自變數的不同取值範圍，對應法則不同，這樣的函式稱為分段函式，分段函式是乙個函式。
8、區間
區間實質上是一類特殊數集的另一表示形式，其名稱、定義、符號，如下表所示：
由此可見，區間是集合的又一表示方法。
三、基本題型
題型一：關於對映的問題
例1、判斷下列對應關係那些是集合到集合的對映，那些不是，為什麼
（1），對應關係；
（2），對應關係。
解析：（1）對於中的3，在作用下得0，但，即3在中沒有象，所以不是對映。
（2）對於中任乙個非負數都有唯一象1，對於中任意乙個負數都有唯一乙個象0，所以是對映。
評注：判斷乙個對應是不是對映，應從兩個角度分析：①是否是「對於中每乙個元素」；②在中是否「有唯一的元素與之對應」乙個對應是對映必須兩者兼備。
例2、已知集合是從到的對映，，求中元素的象和中元素的原象。
解：把，代入對應關係，得其象：又：，得：。的象為，的原象為。
評注：求象和原象的題目主要根據對應關係來確定。
題型二：關於函式定義域的問題
求函式定義域的題型主要有三類：（1）求函式解析式的定義域；（2）求實際問題函式的定義域；（3）求復合函式的定義域，另外還有定義域的逆向問題，這些題型，都將在本節中講到。
例3、求下列函式的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）。
解：（1）
∴定義域為。
（2），
∴定義域為。
（3），且，
∴定義域為。
（4），或。
∴定義域為。
評注：對於已知解析式函式的定義域的求解，關鍵是要使解析式有意義。本題中（1）題，要注意不能漏掉對前兩個分母的制約。
例4、用長為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形底邊長為，求此框架圍成的面積與的函式關係，如圖1-2所示。
圖1-2
解：設，則，。。又。
∴所求面積。
評注：對於實際問題建立的函式，要注意問題中變數的實際意義的限制。
題型三：對函式概念的理解——同一函式問題
例5、下列各組函式是否表示同乙個函式？
（1）；（2）；
（3）；（4）
分析：對於根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立。
解：（1）與對應關係不同，因此是不同的函式。
（2）與的定義域不同，因此是不同的函式。
（3）與的定義域相同，對應關係相同，因此是相同的函式。
（4）與的對應關係不同，因此是不同的函式。
評注：對於（2）在分式化簡中，常常由於約分而出現變形不等價，從而出錯，對於（3）儘管表示自變數與對應法則的字母不相同，但它們的實質相同，因而是相同的函式。
題型四：關於函式求值的題型
例6、已知，求。
分析：由函式的定義可知，該題是求函式值的問題，即求定義域中的元素對應關係：乘以2再加上3的作用下的函式值。
解：；評注：函式解析式中的代表某種運算，由具體解析式確定。
例7、已知函式則
解：由分段函式的定義，可知：，則，
。 評注：這類問題的關鍵是抓住定義域，在不同範圍內正確運用解析式來求取函式值。
題型五：求函式的值域問題
例8、求下列函式的值域：（1）；（2）；（3）；（4）。
解：（1），∴值域為：。
（2）由題意得解得，∴值域為：。
（3），，∴值域為：
（4）去絕對值號得：由函式圖象1-3知：
圖1-3
∴值域為：
評注：對於（1）、（2）兩題，函式解析式簡單，我們通過直接觀察或直接運算，即可求出值域，這種方法被稱為「觀察法」對於（3）題使用「配方法」之後變為乙個直觀的式子，然後通過觀察得出值域。（4）題利用了函式的圖象，這種由函式圖象的直觀性得出值域的方法，稱之為「圖象法」。
四、a級訓練
1、對對映，下面命題：
①中的每乙個元素在中有且只有乙個象；
②中不同的元素在中的象必不相同；
③中的元素在中都有原象；
④中的元素在中可以有兩個以上的原象，也可以沒有原象。
假命題的個數是（ ）
a、1b、2c、3d、4
2、在給定的對映下，求出點的象。
3、下列四組式子中，與表示同乙個函式的是（ ）
ab、cd、4、已知若，求。
5、求下列函式定義域：
（1）；（2）；（3）。
6、求下列函式值域：
（1）；（2）
五、發散思維
例1、已知，對映滿足，求對映的個數。
分析：讓中元素在下對應中的乙個、兩個或三個，並且滿足，需分類討論解決。
解：①當中三個元素都對應0時，則有一種對映；
②當中的三個元素對應中的兩個時，滿足的對映有4個，分別為；
③當中的三個元素對應中的三個元素時，有兩個對映，分別是。
因此滿足題設條件的對映有7個。
評注：理解對映的概念是解決本題的關鍵。
例2、已知的定義域為，且，若，求。
解：令，則。
評注：本題中的函式，沒有具體的對應關係，我們稱之為抽象函式，解決抽象函式有關問題，常常採用「特殊值法」，達到化抽象為具體的目的。
例3、若和都是定義在實數集上的函式，且方程有實數解，則不可能是（ ）
abcd、
解析:由於與的解析式不明確，所以用直接法很難求解，故可採用難證排除法。由條件知有解驗證可知無解。
答案：b
評注：本題考查了函式方程的思想。
例4、已知定義域為，①求的定義域；②求的定義域。
分析：首先要明確定義域的定義是自變數的取值範圍，那麼在復合函式中，誰是自變數呢？例如：設，在中，是自變數，而，即；其中的自變數應是，而不是。
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