2010寧德第25題：如圖，四邊形abcd是正方形，△abe是等邊三角形，m為對角線bd（不含b點）上任意一點，將bm繞點b逆時針旋轉60°得到bn，連線en、am、cm.⑴ 求證：
△amb≌△enb；
⑵ ①當m點在何處時，am＋cm的值最小；
②當m點在何處時，am＋bm＋cm的值最小，並說明理由；
⑶ 當am＋bm＋cm的最小值為時，求正方形的邊長.
分析：本題在最短矩離這一問題中，利用了數形結合的思想，綜合考查學生幾何、代數知識的運用能力。整個過程充分顯示了學生學習數學新知的一般過程：
認知——論證——應用。本題的難點在距離最小。第一小問設計由簡單的三角形全等的證明讓學生得出邊之間的相等關係，這裡隱藏著由旋轉角60°得出的等邊三角形，從而得出bm=mn；第二小問設計的是乙個**過程，讓學生綜合學習過的基本數學知識進行探索，看學生對「兩點之間，線段最短」的掌握，要求學生具備轉化能力，建模能力等；第三小問的設計主要是將所**的結論進行運用，拓展，體現了數形結合的思想理念。
整個過程體現了特殊問題中的一般規律，是數學知識和問題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考壓軸題的基本模型。
現在我們將一起探索距離最短這一專題。其實這一類歸根結底還是「兩點之間，線段最短」的應用。我們要緊緊抓住這一點，以題變解題思維不變來應對這一類題型。
例一、（１）在直線l的異側有a、b兩點，在直線l求點p，使ap+bp最小。
（２）在直線l的同側有a、c兩點，在直線l求點p，使ap+cp最小。
分析：要解決這個問題，找出點a關於直線的對稱點，鏈結交直線於點p，則點p就是到a、b兩村莊的距離之和最短的點的位置。理由根據軸對稱的性質可知,如果另外任選一點（異於p），鏈結
在中，即因此，為最短
由此可見，軸對稱幫我們找到了符合要求的點的位置。
例二、如圖，點p在∠aob內部，且∠aob度數為45°,op=2cm,在射線oa、ob上找點c、d，使pc+cd+dp之和最小。
分析：首先主導思想還是「兩點之間，線段最短」，解決方法可以利用軸對稱找到兩個對稱點，使得三角形的三邊之和最短問題轉化為「兩點之間，線段最短」。
思考:你能求得出pc+cd+dp之和最小為多少嗎？
例三、（1）如圖1，等腰直角三角形abc的直角邊長為2，e是斜邊ab的中點，p是ac邊上的一動點，則pb+pe的最小值為
（2）幾何拓展：如圖2, △abc中，ab=2，∠bac=30,若在ac、ab上各取一點m、n使bm+mn的值最小，求這個最小值；
（3）代數應用：求代數式（0≤x≤4）的最小值.
分析：第一步，利用軸對稱，很容易找到b關於直線ac的對稱點b′,然後連線b′c就可。第二步，利用作點b關於ac的對稱點b，過b作bn⊥ab於n，交ac於m.
此時bm+mn的值最小. 第三步，構造圖形如圖所示
其中：ab=4，ac=1，db=2，ac=x，ca⊥ab於a，db⊥ab於b.
那麼pc+pd=
所求的最小值就是求pc+pd的
最小值.
例四、如圖，ac、bd為正方形abcd對角線，相交於點o,
點d為bc邊的中點，連長為2cm,在bd上找點p，使dp+cp之和最
小。分析： 利用軸對稱性可知a、c為對稱點，連線ad交bd於點ｐ
，連線pc，易知，ap=pc,則pd+pc=ap+pd=ad.
在直角三解形abd中，ab=2cm,bd=1cm,則ad=cm.
例五．圓o內點p和圓上哪一點的距離最小，理由是什麼。
分析：過點p作直徑ab,則ap、bp中較短者即為點p到圓的最短距離。理由也是由「兩點之間，線段最短」得出的「三角形中，兩邊之和大於第三邊」推出的。
例六．例5. 如圖，村莊a、b位於一條小河的兩側，若河岸a、b彼此平行，現在要建設一座與河岸垂直的橋cd，問橋址應如何選擇，才能使a村到b村的路程最近？
作法：設a、b的距離為r。
①把點b豎直向上平移r個單位得到點b'；
②連線ab'，交a於c；
③過c作cdb於d；
④連線ac、bd。
證明：∵bb'∥cd且bb'＝cd，
∴四邊形bb'cd是平行四邊形，∴cb'＝bd
∴ac＋cd＋db＝ac＋cb'＋b'b＝ab'＋b'b
在a上任取一點c'，作c'd'，連線ac'、d'b，c'b'
同理可得ac'＋c'd'＋d'b＝ac'＋c'b'＋b'b
而ac'＋c'b'>a b'
∴ac＋cd＋db最短。
本題是研究ac＋cd＋db最短時的c、d的取法，而ｃｄ是定值，所以問題集中在研究ac＋db最小上。但ac、db不能銜接，可將bd平移bc處，則ac＋db可轉化為ac＋cb'，要使ac＋cb'最短，顯然，a、c、b'三點要在同一條直線上。
舉一反三：如圖，a、b是直線a同側的兩定點，定長線段pq在a上平行移動，問pq移動到什麼位置時，ap+pq+qb的長最短？
還有立體圖形上點點之間的距離最短問題，則可以把問題能過展開圖，把立體圖形轉化為平面圖形，然後再運用「兩點之間，線段最短」來解決。總之，解決這一類距離最短的問題，可以利用軸對稱或平移或旋轉等幾何圖形的變換，把兩條或多條線段和最短的問題轉化為平面上兩點之間的距離最短的問題。
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2019中考總結
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