一、等差數列
1.等差數列的定義:(d為常數)();
2.等差數列通項公式:
首項:,公差:d,末項:
推廣:. 從而;
3.等差中項
(1)如果,,成等差數列,那麼叫做與的等差中項.即:或
(2)等差中項:數列是等差數列
4.等差數列的前n項和公式:
(其中a、b是常數,所以當d≠0時,sn是關於n的二次式且常數項為0)
特別地,當項數為奇數時,是項數為2n+1的等差數列的中間項
(項數為奇數的等差數列的各項和等於項數乘以中間項)
5.等差數列的判定方法
(1) 定義法:若或(常數)是等差數列.
(2) 等差中項:數列是等差數列.
⑶數列是等差數列(其中是常數)。
(4)數列是等差數列,(其中a、b是常數)。
6.等差數列的證明方法
定義法:若或(常數)是等差數列.
7.提醒:
(1)等差數列的通項公式及前和公式中,涉及到5個元素:、、、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其餘2個,即知3求2。
(2)設項技巧:
①一般可設通項
②奇數個數成等差,可設為…,…(公差為);
③偶數個數成等差,可設為…,,…(注意;公差為2)
8..等差數列的性質:
(1)當公差時,
等差數列的通項公式是關於的一次函式,且斜率為公差;
前和是關於的二次函式且常數項為0.
(2)若公差,則為遞增等差數列,若公差,則為遞減等差數列,若公差,則為常數列。
(3)當時,則有,特別地,當時,則有.
注:,(4)若、為等差數列,則都為等差數列
(5) 若{}是等差數列,則,…也成等差數列
(6)數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數列
(7)設數列是等差數列,d為公差,是奇數項的和,是偶數項項的和,是前n項的和
1.當項數為偶數時,
2、當項數為奇數時,則
(其中是項數為2n+1的等差數列的中間項).
(8)、的前和分別為、,且,
則.(9)等差數列的前n項和,前m項和,則前m+n項和
(10)求的最值
法一:因等差數列前項是關於的二次函式,故可轉化為求二次函式的最值,但要注意數列的特殊性。
法二:(1)「首正」的遞減等差數列中,前項和的最大值是所有非負項之和
即當由可得達到最大值時的值.
(2) 「首負」的遞增等差數列中,前項和的最小值是所有非正項之和。
即當由可得達到最小值時的值.或求中正負分界項
法三:直接利用二次函式的對稱性:由於等差數列前n項和的影象是過原點的二次函式,故n取離二次函式對稱軸最近的整數時,取最大值(或最小值)。若s p = s q則其對稱軸為
注意:解決等差數列問題時,通常考慮兩類方法:
①基本量法:即運用條件轉化為關於和的方程;
②巧妙運用等差數列的性質,一般地運用性質可以化繁為簡,減少運算量.
二、等比數列
1. 等比數列的定義:,稱為公比
2. 通項公式:
, 首項:;公比:
推廣從而得或
3. 等比中項
(1)如果成等比數列,那麼叫做與的等差中項.即:或
注意:同號的兩個數才有等比中項,並且它們的等比中項有兩個(兩個等比中項互為相反數)
(2)數列是等比數列
4. 等比數列的前n項和公式:
(1) 當時,
(2) 當時,
(為常數)
5. 等比數列的判定方法
(1)用定義:對任意的n,都有為等比數列
(2) 等比中項:(0)為等比數列
(3) 通項公式: 為等比數列
(4) 前n項和公式: 為等比數列
6. 等比數列的證明方法
依據定義:若或為等比數列
7. 注意
(1)等比數列的通項公式及前和公式中,涉及到5個元素:、、、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其餘2個,即知3求2。
(2)為減少運算量,要注意設項的技巧,一般可設為通項;
如奇數個數成等差,可設為…,…(公比為,中間項用表示);
8. 等比數列的性質
(1) 當時
①等比數列通項公式是關於n的帶有係數的類指數函式,底為公比
②前n項和,係數和常數項是互為相反數的類指數函式,底數為公比
(2) 對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得
注: (4) 列,為等比數列,則數列, , , (k為非零常數) 均為等比數列.
(5) 數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列
(6) 如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列
(7) 若為等比數列,則數列,,,成等比數列
(8) 若為等比數列,則數列, , 成等比數列
(9) ①當時當時,
③當q=1時,該數列為常數列(此時數列也為等差數列);
④當q<0時,該數列為擺動數列.
(10)在等比數列中, 當項數為2n (n)時, ,.
(11)若是公比為q的等比數列,則
例1、(1)設是等差數列,且,求及s15值。
(2)等比數列中,,,前n項和sn=126,求n和公比q。
(3)等比數列中,q=2,s99=77,求a3+a6+…+a99;
(4)項數為奇數的等差數列,奇數項之和為80,偶數項之和為75,求此數列的中間項與項數。
解:(1)由已知可得,所以=2,s15=
,所以或
又,所以或
評注:分解重組,引導發現()、()與()的關係,從而使問題獲得簡單的解法。
設等差數列共2n-1項,則
所以此數列共31項.中間項
評注:(1)在項數為項的等差數列中,;
(2)在項數為項的等差數列中.
變式:(1)若乙個等差數列前3項的和為34,最後三項的和為146,且所有項的和為,則這個數列項;
(2)已知數列是等比數列,且, ,,則
9 .
(3)等差數列前項和是,前項和是,則它的前項和是 210 .
(4) 等差數列和的前n項之和之比為(3n+1):(2n+3),求.。(=)
例2、設等差數列的前n項之和為sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
(1)求公差d的取值範圍。
(2)指出s1,s2,s3,…sn中哪乙個值最大,並說明理由。
解:(1),,即,
由,代入得:。
(2)解一:由,可知,所以s6最大。
解二:,由可知,它的圖象是開口向下的拋物線上的一群離散的點,根據圖象可知s6最大。
解三:,由得。
又拋物線開口向下,所以s6最大。
評注:求等差數列sn最值有三法:借助求和公式是關於n的二次函式的特點,用配方法求解;借助等差數列的性質判斷,通過」轉折項」求解;借助二次函式圖象求解。(經過原點)
變式:(1) 已知等差數列中,,問s1,s2,s3,…sn中哪乙個值最大。
(2) 數列是首項為,公比為的等比數列,數列滿足
,①求數列的前項和的最大值;②求數列的前項和.
略解:(1)由題得,∴,∴是首項為3,公差為的ap。
∴,∴由,得,∴數列的前項和的最大值為
(2)由(1)當時,,當時,,
∴當時,
當時,∴.例3、(1) 由正數組成的等比數列,若前項之和等於它前項中的偶數項之和的11倍,第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍,求數列的通項公式.
解:當時,得不成立,∴,∴
由①得,代入②得,∴.
說明:用等比數列前項和公式時,一定要注意討**比是否為1.
(2) 若數列成等差數列,且,求.
解:(法一)基本量法(略);
(法二)設,則
得:,, ∴,
∴.評注:法二抓住了等差數列前n項和的特徵。
變式:設為等差數列,sn為的前n項和,已知s7=7,s15=75,tn為數列{}的前n項和,求tn。
解:法一:(基本量法)設首項為a1,公差為d,則
∴ ∴,∴
∴ 此式為n的一次函式, ∴ {}為等差數列,∴。
法二:為等差數列,設sn=an2+bn,∴
解之得: ∴,下略。
例4、已知等差數列,
(1)在區間上,該數列有多少項?並求它們的和;
(2)在區間上,該數列有多少項能被整除?並求它們的和.
解:,(1)由,得,又,
∴ 該數列在上有項, 其和.
(2)∵,∴要使能被整除,只要能被整除,即,
∴,∴,∴,∴在區間上該數列中能被整除的項共有項即第項,其和.
三、等差數列與等比數列性質的比較
四、數列的通項公式的求法
數列知識點總結
數列是高考試題中的重頭戲,每年的全國及各地的考題中必有涉及.從內容上看主要考查等差 比 數列的定義 通項 前項和公式 等差 比 數列的中項及數列的性質,佔分值約17分.因此學好數列這塊知識顯得尤為重要.為了讓學生更好地掌握數列,現將等差 比 數列的有關知識歸納總結如下.1.等差數列的定義與性質 定義...
數列知識點總結
1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項 成等差數列 前項和性質 是等差數列 1 若,則 2 數列仍為等差數列,仍為等差數列,公差為 3 若三個成等差數列,可設為 4 若是等差數列,且前項和分別為,則 5 為等差數列 為常數,是關於的常數項為0的二次函式 的最值可求二次函式的最值 或者求出中...
數列總結知識點
數列的基本性質 等差數列 1.等差數列的判定方法 1 用定義 對任意的n,都有 d為常數 為等差數列 2 n 為等差數列 3 kn b k,b為常數 即為關於n的一次函式 為等差數列 2.常用性質 1 若數列,為等差數列,則數列,k,b為非零常數 均為等差數列.2 對任何m,n,在等差數列中,有,特...