第十四章交變電流
第一單元交流電的產生及變化規律
基礎知識
一．交流電
大小和方向都隨時間作週期性變化的電流，叫做交變電流。 其中按正弦規律變化的交變電流叫正弦式電流，正弦式電流產生於在勻強電場中，繞垂直於磁場方向的軸勻速轉動的線圈裡，線圈每轉動一周，感應電流的方向改變兩次。
二．正弦交流電的變化規律
線框在勻強磁場中勻速轉動．
1．當從圖12—2即中性面位置開始在勻強磁場中勻速轉動時，線圈中產生的感應電動勢隨時間而變的函式是正弦函式：
即 e=εmsinωt， i＝imsinωt
ωt是從該位置經t時間線框轉過的角度；ωt也是線速度v與磁感應強度b的夾角；。是線框面與中性面的夾角
2．當從圖位置開始計時：
則：e=εmcosωt， i＝imcosωt
ωt是線框在時間t轉過的角度；是線框與磁感應強度b的夾角；此時v、b間夾角為（π/2一ωt）．
3．對於單匝矩形線圈來說em=2blv=bsω； 對於n匝面積為s的線圈來說em=nbsω。對於總電阻為r的閉合電路來說im=
三．幾個物理量
1．中性面：如圖所示的位置為中性面，對它進行以下說明：
（1）此位置過線框的磁通量最多．
（2）此位置磁通量的變化率為零．所以 e=εmsinωt=0， i＝imsinωt=0
（3）此位置是電流方向發生變化的位置，具體對應圖中的t2，t4時刻，因而交流電完成一次全變化中線框兩次過中性面，電流的方向改變兩次，頻率為50hz的交流電每秒方向改變100次．
2．交流電的最大值：
εm＝bωs 當為n匝時εm＝nbωs
（1）ω是勻速轉動的角速度，其單位一定為弧度／秒，nad/s（注意rad是radian的縮寫，round/s為每秒轉數，單詞round是圓，回合）．
（2）最大值對應的位置與中性面垂直，即線框面與磁感應強度b在同一直線上．
（3）最大值對應圖中的t1、t2時刻，每週**現兩次．
3．瞬時值e=εmsinωt， i＝imsinωt代入時間即可求出．不過寫瞬時值時，不要忘記寫單位，如εm=220v，ω=100π，則e=220sin100πtv，不可忘記寫伏，電流同樣如此．
4．有效值：為了度量交流電做功情況人們引入有效值，它是根據電流的熱效應而定的．就是分別用交流電，直流電通過相同阻值的電阻，在相同時間內產生的熱量相同，則直流電的值為交流電的有效值．
（1）有效值跟最大值的關係εm=u有效，im=i有效
（2）伏特表與安培表讀數為有效值．
（3）用電器銘牌上標明的電壓、電流值是指有效值．
5．週期與頻率：
交流電完成一次全變化的時間為週期；每秒鐘完成全變化的次數叫交流電的頻率．單位1/秒為赫茲（hz）．
規律方法
一、關於交流電的變化規律
【例1】如圖所示，勻強磁場的磁感應強度b=0．5t，邊長l=10cm的正方形線圈abcd共100匝，線圈電阻r＝1ω，線圈繞垂直與磁感線的對稱軸oo/勻速轉動，角速度為ω＝2πrad／s，外電路電阻r＝4ω，求：
（1）轉動過程中感應電動勢的最大值．
（2）由圖示位置（線圈平面與磁感線平行）轉過600時的即時感應電動勢．
（3）由圖示位置轉過600角時的過程中產生的平均感應電動勢．
（4）交流電電表的示數．
（5）轉動一周外力做的功．
（6）週期內通過r的電量為多少？
解析：（1）感應電動勢的最大值，εm＝nbωs＝100×0．5×0．12×2πv=3．14v
（2）轉過600時的瞬時感應電動勢：e＝εmcos600=3．14×0．5 v＝1．57 v
（3）通過600角過程中產生的平均感應電動勢： =nδφ/δt=2．6v
（4）電壓表示數為外電路電壓的有效值： u=·r＝×=1．78 v
（5）轉動一周所做的功等於電流產生的熱量 w＝q＝（）2（r十r）·t＝0．99j
（6）週期內通過電阻r的電量q＝·t＝t＝＝0．0866 c
【例2】磁鐵在電器中有廣泛的應用，如發電機，如圖所示。 已知一台單相發電機轉子導線框共有n匝，線框長為l1，寬為l2，轉子的轉動角速度為ω, 磁極間的磁感應強度為b。 匯出發電機的瞬時電動勢e的表示式。
現在知道有一種強永磁材料銨鐵硼，用它製成發電機的磁極時，磁感應強度可以增大到原來的k倍，如果保持發電機的結構和尺寸，轉子轉動角速度，需產生的電動勢都不變，那麼這時轉子上的導線框需要多少匝? (2023年，安徽)
解：如圖所示，有v=ωl2/2
二、表徵交流電的物理量
【例3】. 交流發電機的轉子由b∥s的位置開始勻速轉動，與它併聯的電壓表的示數為14.1v，那麼當線圈轉過30°時交流電壓的即時值為＿＿v。
分析：電壓表的示數為交流電壓的有效值，由此可知最大值為um=u=20v。而轉過30°時刻的即時值為u=umcos30°=17.3v。
【例4】 通過某電阻的週期**變電流的圖象如右。求該交流電
的有效值i。
分析：該交流週期為t=0.3s，前t1=0.2s為恆定電流i1=3a，後
t2=0.1s為恆定電流i2=-6a，因此這乙個週期內電流做的功可以求出
來，根據有效值的定義，設有效值為i，根據定義有：
∵i=3a
【例5】如圖所示，（甲）和（乙）所示的電流最大值相等的方波交流電流和正弦交流電流，則這兩個電熱器的電功率之比pa∶pb=
解析：交流電流通過純電阻r時，電功率p＝i2r，i是交流電流的有效值．交流電流的有效值i是交流電流的最大值im的1/，這一結論是針對正弦交流電而言，至於方波交流電通過純電阻r時，每時每刻都有大小是im的電流通過，只是方向在作週期性的變化，而對於穩恆電流通過電阻時的熱功率來說是跟電流的方向無關的，所以最大值為im的方波交流電通過純電阻的電功率等於電流強度是im的穩恆電流通過純電阻的電功率．由於
pa＝im2r．pb＝i2r＝im2r/2．
所以，pa∶pb=2∶1．
答案：2∶1
【例6】如圖表示一交變電流隨時間變化的圖象，此交變電流的有效值是（ ）
a．5a； b．5a； c．3．5a ；d．3．5a
解析：嚴格按照有效值的定義，交變電流的有效值的大小等於在熱效應方面與之等效（在相同時間內通過相同的電阻所產生的熱量相等）的直流的電流值．可選擇乙個週期（0．02 s）時間，根據焦耳定律，有： i2r×0．02＝（4）2r×0．01+（3）2r×0．01
解之可得： i＝5 a． 答案：b
三、最大值、平均值和有效值的應用
1、正弦交變電流的電動勢、電壓和電流都有最大值、有效值、即時值和平均值的區別。以電動勢為例：最大值用em表示，有效值用e表示，即時值用e表示，平均值用表示。
它們的關係為：e=em/，e=emsinωt。平均值不常用，必要時要用法拉第電磁感應定律直接求：。
切記。特別要注意，有效值和平均值是不同的兩個物理量，有效值是對能的平均結果，平均值是對時間的平均值。在乙個週期內的前半個週期內感應電動勢的平均值為最大值的2/π倍，而乙個週期內的平均感應電動勢為零。
2、 我們求交流電做功時，用有效值，求通過某一電阻電量時一定要用電流的平均值交流電，在不同時間內平均感應電動勢，平均電流不同．考慮電容器的耐壓值時則要用最大值。
3、 交變電流的有效值是根據電流的熱效應規定的：讓交流和直流通過相同阻值的電阻，如果它們在相同的時間內產生的熱量相等，就把這一直流的數值叫做這一交流的有效值。
⑴只有正弦交變電流的有效值才一定是最大值的/2倍。
⑵通常所說的交變電流的電流、電壓；交流電表的讀數；交流電器的額定電壓、額定電流；保險絲的熔斷電流等都指有效值。
（3）生活中用的市電電壓為220v，其最大值為220v=311v（有時寫為310v），頻率為50hz，所以其電壓即時值的表示式為u=311sin314tv。
【例7】.交流發電機轉子有n匝線圈，每匝線圈所圍面積為s，勻強磁場的磁感應強度為b，勻速轉動的角速度為ω，線圈內電阻為r，外電路電阻為r。當線圈由圖中實線位置勻速轉動90°到達虛線位置過程中，求：
⑴通過r的電荷量q為多少？⑵r上產生電熱qr為多少？⑶外力做的功w為多少？
分析：⑴由電流的定義，計算電荷量應該用平均值：即，這裡電流和電動勢都必須要用平均值，不能用有效值、最大值或瞬時值。
⑵求電熱應該用有效值，先求總電熱q，再按照內外電阻之比求r上產生的電熱qr。。這裡的電流必須要用有效值，不能用平均值、最大值或瞬時值。
⑶根據能量守恆，外力做功的過程是機械能向電能轉化的過程，電流通過電阻，又將電能轉化為內能，即放出電熱。因此w=q。一定要學會用能量轉化和守恆定律來分析功和能。
試題展示
1.如圖a所示，一矩形線圈abcd放置在勻強磁場中，並繞過ab、cd中點的軸oo′以角速度逆時針勻速轉動。若以線圈平面與磁場夾角時（如圖b）為計時起點，並規定當電流自a流向b時電流方向為正。
則下列四幅圖中正確的是
答案：d
【解析】本題考查正弦交流電的產生過程、楞次定律等知識和規律。從a圖可看出線圈從垂直於中性面開始旋轉，由楞次定律可判斷，初始時刻電流方向為b到a，故瞬時電流的表示式為i=－imcos（+ωt），則影象為d影象所描述。平時注意線圈繞垂直於磁場的軸旋轉時的瞬時電動勢表示式的理解。
2．小型交流發電機中，矩形金屬線圈在勻強磁場中勻速轉動。產生的感應電動勢與時間呈正弦函式關係，如圖所示，此線圈與乙個r＝10ω的電阻構成閉合電路，不計電路的其他電阻，下列說法正確的是
a．交變電流的週期為0.125
b．交變電流的頻率為8hz
c．交變電流的有效值為a
d．交變電流的最大值為4a
【答案】c
【解析】由e－t影象可知，交變電流電流的週期為0.25s，故頻率為4hz，選項a、b錯誤。根據歐姆定律可知交變電流的最大值為2a，故有效值為a，選項c正確。
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