數學中考部 2019春季週末班相似三角形小結 0518

數學中考部：2013春季週末班相似三角形小結（0518）

一、如何證明三角形相似

相似三角形的幾種基本圖形：

（1）如圖：稱為「平行線型」的相似三角形

(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ade∽△abc稱為「相交線型」的相似三角形。

(3)如圖：∠1=∠2，∠b=∠d，則△ade∽△abc，稱為「旋轉型」的相似三角形。

觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是「相交線型」的相似三角形，及△eaf與△eca

例1、如圖，平行四邊形abcd中，過a作直線交bd於p，交bc於q，交dc的延長線於r.

求證：ap=pq·pr.

例2、如圖，已知△abc，延長bc到d，使cd=bc.取ab的中點f，連線fd交ac於點e.

（1）求ae:ac的值

（2）若ab=a,fb=ec，求ac的長.

例3、如圖，已知∠acb=90°，ac=bc，be⊥ce於e，ad⊥ce於d，ce與ab相交於f.

（1）求證：△ceb≌△adc；

（2）若ad=9㎝，de=6㎝，求be及ef的長.

二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式

例1、△abc中，在ac上擷取ad，在cb延長線上擷取be，使ad=be，求證：dfac=bcfe

例2：已知：如圖，在△abc中，∠bac=900，m是bc的中點，dm⊥bc於點e，交ba的延長線於點d。

求證：（1）ma2=mdme；（2）

評注：（1）通過一對相似三角形來證明比例線段，是證比例線段的一種基本方法。本例第（1）小題證明ma2=mdme，經常可以把其中的ma看作一對相似三角形的公共邊，再去尋覓與確定需證相似的三角形。

（2）本例的關鍵是證明△mae∽△mda，這種具有特殊關係（有乙個公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應用很多，應從下面兩個方面深刻理解：

命題1 如圖，如果∠1=∠2，那麼△abd∽△acb，ab2=adac。

命題2 如圖，如果ab2=adac，那麼△abd∽△acb，∠1=∠2。

例3：如圖△abc中，ad為中線，cf為任一直線，cf交ad於e，交ab於f，求證：ae：ed=2af：fb。

評注：（1）為了得到比例式，通常用過一點作某一直線的平行線的方法，在作平行線時必須注意緊扣與結論有關的線段。

（2）在探索證題思路的過程中，我們可以採取「做做比比，比比做做」的方法，即構造相似形，寫出比例式時要始終注意待證結論中的有關線段，並及時與待證結論中的有關線段進行比較，以便確定下一步需要解決什麼問題。

例4、如圖，已知△abc中，ae:eb=1:3，bd:dc=2:1,ad與ce相交於f.

求的值.

三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。

例1：已知：如圖e、f分別是正方形abcd的邊ab和ad上的點，且。求證：∠aef=∠fbd

例2、已知a、c、e和b、f、d分別是∠o的兩邊上的點，且

ab∥ed，bc∥fe，求證：af∥cd

例3、直角三角形abc中，∠acb=90°，bcde是正方形，ae交bc於f，fg∥ac交ab於g，求證：fc=fg

四、動點問題

例1、在平面直角座標系內，已知點a（0，6）、點b（8，0），動點p從點a開始**段ao上以每秒1個單位長度的速度向點o移動，同時動點q從點b開始**段ba上以每秒2個單位長度的速度向點a移動，設點p、q移動的時間為t秒．

（1）求直線ab的解析式；

（2）當t為何值時，以點a、p、q為頂點的三角形與△aob相似？

（3）當t=2秒時，四邊形opqb的面積多少個平方單位？