數學選修課：導數及其應用
一、課程目標
微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展和廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變數和函式提供了重要的方法和手段。導數概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。在本模組中，學生將通過大量例項，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解導數概念，了解導數在研究函式的單調性、極值等性質中的作用。
通過該模組的學習，學生將體會導數的思想及其豐富內涵，感受導數在解決實際問題中的作用。
二、課程內容
內容與要求
1. 導數及其應用（約16課時）
（1）導數概念及其幾何意義
①通過對大量例項的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵（參見選修1－1案例中的例2、例3）。
②通過函式圖象直觀地理解導數的幾何意義。
（2）導數的運算
①能根據導數定義求函式的導數。
②能利用給出的基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數，能求簡單的復合函式（僅限於兩次復合）的導數。
③會使用導數公式表。
（3）導數在研究函式中的應用
①結合例項，借助幾何直觀探索並了解函式的單調性與導數的關係（參見選修1－1案例中的例4）；能利用導數研究函式的單調性，會求不超過三次的多項式函式的單調區間。
②結合函式的圖象，了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函式的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次的多項式函式最大值、最小值；體會導數方法在研究函式性質中的一般性和有效性。
（4）生活中的優化問題舉例。
例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用。
（5）數學文化
收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料，並進行交流；體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。具體要求見本標準中「數學文化」的要求
授課講義
幾個常用函式的導數
一．教學目標：
1．使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函式、、、的導數公式；
2．掌握並能運用這四個公式正確求函式的導數．
二．教學重點，難點
重點：四種常見函式、、、的導數公式及應用
難點： 四種常見函式、、、的導數公式
三．教學過程：
（一）．創設情景
我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那麼，對於函式，如何求它的導數呢？
由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由於導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函式的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們求幾個常用的函式的導數．
（二）．新課講授
1．函式的導數
根據導數定義，因為
所以表示函式影象上每一點處的切線的斜率都為0．若表示路程關於時間的函式，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處於靜止狀態．
2．函式的導數
因為所以
表示函式影象上每一點處的切線的斜率都為1．若表示路程關於時間的函式，則可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動．
3．函式的導數
因為所以
表示函式影象上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函式在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函式減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函式增加得越來越快．若表示路程關於時間的函式，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為．
4．函式的導數
因為所以
5．函式的導數
因為所以
6推廣：若，則
（三）例題精析
例題：在同一座標系中畫出函式的影象，並根據導數的定義，求出它們的導數。
（1） 從影象上看，它們的導數分別是什麼？
（2） 這三個函式中哪乙個增加的最快？哪乙個增加的最慢？
（3） 函式增（減）的快慢與什麼有關？
解 ：略
（四）課堂練習：
畫出函式的影象，根據影象描述它的變化情況，並求出曲線在點處的切線方程。
四．回顧總結
五．布置作業
選修課評價方案
教師通過對學生參與學習活動過程的觀察 交流和學習情況的記錄 各種問卷 多種形式的作業，包括過程記錄等對學生進行評價。通過考核，可採取現場展示 口頭表達 模擬表演 作品展示 實驗操作 報告等形式，了解學生的技能學習情況，並給予相應的獎勵。每門課程獲得 樂學積分卡 綠卡 長課 數量為課程人數的4倍，短課...
選修課感想
選修課總結 有些選修課是為介紹先進科學技術和最新科學成果 有些選修課是為擴大學生知識面。選修課可分為限制性選修課與非限制性選修課。有的專業教學計畫規定高年級學生須在某一專門組或選修組中選修若干門課程。國外高等學校往往規定學生須在自然科學和社會科學領域中選修若干學分的課程。非限制性選修課也稱任意選修課...
選修課感想
1.2011年10月16日星期日 在你當老師的前三年時間裡，與其說你是在教學生，不如說學生是在教你。在自己的專業知識和技能並不是那麼成熟的情況下，和學生在課堂上的互動可以促使年輕老師不斷鞏固自己學過的知識和學習新的知識，從而進步，也可以給學生帶來更加準確全面的知識。2.2011年10月23日星期日 ...