常青藤實驗中學2013屆高三理科數學研究性學習（40）
專題：2023年江蘇高考數學解析幾何試題的背景探源及解法優化技巧簡介
引例：（2023年江蘇高考數學18題）
在平面直角座標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為a、b，右焦點為f. 設過點t（）的直線ta、tb與橢圓分別交於點m、，其中m>0,.
（1）設動點p滿足,求點p的軌跡；
（2）設，求點t的座標；
（3）設,求證：直線mn必過x軸上的一定點（其座標與m無關）
一、試題背景探源
橢圓極點和極線的定義與作圖：已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線.極點和極線是成對出現的.
從定義我們共同思考和討論幾個問題並寫下你的思考:
（1）若點在橢圓上，則其對應的極線是什麼?
（2）橢圓的兩個焦點對應的極線分別是什麼?
過橢圓外任意一點的極線的作法:
當點p在橢圓內（外、上）時,此時點
對應的極線和橢圓的位置關係如何?
二、高觀點下的試題新解
思考:能否利用極線和極點的知識重新給出第3問的合理分析和解釋?
三、類題再現
(2023年福建) 已知橢圓c的離心率e＝，長軸的左右端點分別為（－2，0），（2，0），如圖所示．（1）求橢圓c的方程；
（2）設直線x＝my＋1與橢圓c交於兩點p，q，直線與交於點s，試問：當m變化時，點s是否恆在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，並證明你的結論；若不是，請說明理由．
下面探索解析幾何問題中的兩個技巧
(1) 用「α法」求直線方程
已知兩點座標，求經過這兩點的直線方程．通常採取的方法是，或者「點斜式」，或者「兩點式」．其實採用下面介紹的「α法」，運算將更加迅速簡潔．現介紹如下：
若a（，），b（，），求直線ab的方程．
先將兩個點的座標上下對齊書寫，假設最終求出的直線方程為ax＋by＋c＝0，則，，
這種方法既形象直觀，又運算簡潔，更重要的是避免了許多情況下，因為字母運算時需要分類討論的繁瑣．大家不妨以「若a（－2,1），b（3，－1），求直線ab的方程」為例試試看.
⑵ 巧妙分解因式
通常由直線方程與二次曲線方程聯立方程組求交點座標，這種運算是可怕的，尤其是含有大量字母運算時，但當直線與二次曲線有乙個已知公共點時，則可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另乙個公共點的座標．下面以橢圓為例講解這種運算技巧：
若公共點為，橢圓方程為，設直線方程為，則
由得，，將代入上式得，顯然有公因式，從而很方便地求出另乙個交點座標．
練習：已知⊙c過點p（1，1），且與⊙m：關於直線x＋y＋2＝0對稱．（1）求⊙c的方程；
（2）過點作兩條相異直線分別與⊙c相交於，且直線和直線的傾斜角互補，o為座標原點，試判斷直線op和ab是否平行?請說明理由．
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