上海市楊浦區2008-2009學年度第二學期高三學科測試
數學理科試卷 2009.4
（滿分150分，考試時間120分鐘）
考生注意：
本試卷包括試題紙和答題紙兩部分．在本試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規定位置按照要求答題．可使用符合規定的計算器答題．
一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，每題5分，考生應在答題紙上相應編號的空格內直接填寫結果．
1．直線的傾斜角為 ．
2．已知全集，集合，，
則= ．
3．若複數滿足 (其中是虛數單位)，則= ．
4．二項式展開式中係數的值是 ．
5．市場上有一種「雙色球」福利彩票，每注售價為2元，中獎
概率為6.71%，一注彩票的平均獎金額為14.9元．如果小王購
買了10注彩票，那麼他的期望收益是元．
6．把化為積的形式，其結果為 ．
7．已知是橢圓上的乙個動點，則
的最大值是 ．
8．已知（），則的值是 ．
9．如圖是輸出某個數列前10項的框圖，則該數列第3項
的值是 ．
10. 在極座標系中,過圓的圓心,且垂直於極軸的
直線的極座標方程是 ．
11．如圖，用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知
球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體積是 cm3.
12．在△中，，，是邊的中點，則的值
是 .
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．每題只有乙個正確答案，選擇正確答案的字母代號並按照要求填塗在答題紙的相應位置．
13．線性方程組的增廣矩陣是
a． b． c． d．
14．在直角座標系中，已知△的頂點和，頂點在橢圓
上，則的值是
abc．2d．4
15. 以依次表示方程的根，則的大小順
序為ab． c． d．
16．已知數列，對於任意的正整數，，設表示數列
的前項和．下列關於的結論，正確的是
ab．c．（） d．以上結論都不對
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應的區域寫出必要的步驟.
17．(本題滿分12分)
動物園要建造一面靠牆的2間面積相同的長方形熊貓居室（如圖所
示）．如果可供建造圍牆的材料長是30公尺，那麼寬為多少公尺時才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方公尺？
18. (本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.
在長方體中，，，．求：
（1）頂點到平面的距離；
（2）二面角的大小．（結果用反三角函式值表示）
19．(本題滿分15分) 本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，
第3小題滿分8分.
設數列的前和為，已知，，，，
一般地，（）．
（1）求；
（2）求；
（3）求和：．
20．(本題滿分15分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分10分.
已知為實數，函式，（）．
（1）若，試求的取值範圍；
（2）若，求函式的最小值．
21．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，
第3小題滿分7分.
已知是拋物線上的相異兩點．
（1）設過點且斜率為1的直線，與過點且斜率1的直線相交於點p(4，4)，求直線ab的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線，過該圓錐曲線上的
相異兩點a、b所作的兩條直線相交於圓錐曲線上一點；結論是關於直線ab的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，並給予解答；
（3）線段ab（不平行於軸）的垂直平分線與軸相交於點．若，試用線段ab中點的縱座標表示線段ab的長度，並求出中點的縱座標的取值範圍．
上海市楊浦區2008學年度第二學期高三學科測試
數學文理科試卷參***與評分標準2009.4
說明 1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.
2. 評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱. 當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了後繼部分，但該步以後的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定後面部分的給分，這時原則上不應超過後面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.
3. 第17題至第21題中右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的該題累加分數.
4. 給分或扣分均以1分為單位.
答案及評分標準
1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（文）0.7；
6．（理）； （文）200赫茲； 7．（理）5； （文）p=4．
8．（理）； （文）
9．； 10．（理）； （文）方程為．
11．（理）； （文）； 12．12．
13——16：a； c ； c； 理b文a
17．設熊貓居室的總面積為平方公尺，由題意得：．… 6分
解法1：，因為，而當時，取得最大值75． 10分
所以當熊貓居室的寬為5公尺時，它的面積最大，最大值為75平方公尺12分
解法2： =75，當且僅當，即時，取得最大值7510分
所以當熊貓居室的寬為5公尺時，它的面積最大，最大值為75平方公尺12分
18．理：如圖，建立空間直角座標系，可得有關點的座標為2分
設平面的法向量為，則，．
因為3分
，， 所以解得，取，得平面乙個法向量，且5分
（1）在平面取一點，可得，於是頂點到平面的距離，所以頂點到平面的距離為8分
（2）因為平面的乙個法向量為，設與的夾角為，則
12分結合圖形可判斷得二面角是乙個銳角，它的大小為．……14分
文：（1）圓錐底面積為cm21分
設圓錐高為cm，由體積5分
由cm3得cm8分
（2）母線長cm9分
設底面周長為，則該圓錐的側面積12分
所以該圓錐的側面積=cm214分
19．（理）（13分
（2）當時，（）
， ……6分
所以8分
（3）與（2）同理可求得10分
設=，則，（用等比數列前n項和公式的推導方法），相減得
，所以14分
（文）（1）設數列前項和為，則． ……3分
（2）公比，所以由無窮等比數列各項的和公式得：
數列各項的和為=17分
（3）設數列的前項和為，當為奇數時， =
11分當為偶數時14分
即15分
20．（1）即，又，2分
所以，從而的取值範圍是． ……5分
（2），令，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立，8分
由解得，所以當時，函式的最小值是11分
下面求當時，函式的最小值．
當時，，函式在上為減函式．所以函式的最小值為．
[當時，函式在上為減函式的證明：任取，，因為，，所以，，由單調性的定義函式在上為減函式．]
於是，當時，函式的最小值是；當時，函式的最小值15分
21．（1）由解得；由解得．
由點斜式寫出兩條直線的方程，，
所以直線ab的斜率為4分
（2）推廣的評分要求分三層
一層:點p到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）
例：1．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為1的直線，與過點且斜率為1的直線相交於拋物線上的一定點p，求直線ab的斜率；
2．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交於拋物線上的一點p（4，4），求直線ab的斜率；
3．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為1的直線，與過點且斜率為1的直線相交於拋物線上的一定點p，求直線ab的斜率； ab的斜率的值．
二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各佔2分）
例：4．已知點是拋物線上的定點．過點p作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線於a、b兩點，試計算直線ab的斜率．
三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）
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