班級學號姓名得分
南昌市2009-2010學年度高三調研考試模擬訓練
數學(理科
一、選擇題：每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，僅有一項是符合題目要求的。
1．集合,若對任意的都有，則運算*不可能是
（a）加法b）減法 （c）乘法 （d）除法
2．已知複數滿足（為虛數單位），則的共軛複數的虛部是
abcd．
3．已知命題：若,則成立,那麼字母在空間所表示的幾何圖形一定不是
a．都是直線 b．都是平面 c．是直線,是平面 d．是平面,是直線
4．已知，則數列的最小值為
abcd．
5．如圖所示為函式的部分圖象，其中， 那麼和的值分別為
（abcd）
6．已知為常數) 的影象經過點,則的值域是
abcd．
7．假設某籃球運動員在進行投籃訓練時,投籃一次得分的概率為,得分的概率為,得分的概率為,其中,且他投籃一次得分的數學期望為,則的最小值為
abcd．
8．數列是公差不為零的等差數列，並且是等比數列的相鄰三項，若，則
abcd．
9．在圓周上有10個等分,以這些點為頂點,每3個點可以構成乙個三角形,如果隨機選擇了3個點,剛好構成直角三角形的概率是
abcd．
10．在中，是的重心，且，其中分別是的對邊，則
abcd．
11．設有反函式,與互為反函式，則的值為
abcd．
12、已知函式有最值，則的取值範圍是
a、 b、 c、 d、
二、填空題：每小題4分，共16分。請把正確答案題中的相應橫線位置上。
13．已知二項式的展開式的第7項為,則的值為_______.
14．數列滿足，且對任意的都有，則_______.
15．稜長為的正方體及其內部一動點，集合,則集合構成的幾何體的表面積為_______.
16．有以下五個命題：①若隨機變數服從正態分佈，則隨機變數的期望是； ②已知, 則；③在r上是增函式；④定義在r上的偶函式f (x)滿足，則；⑤若f (x)是定義在r上的奇函式，且f (x+2)也為奇函式，則f (x)是以4為週期的週期函式.其中假命題的序號是把你認為正確命題的序號都填上)
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．(本小題滿分12分)設分別是三個內角的對邊，若向量，且，
(1) 求的值2) 求的最大值.
18．(本小題滿分12分)某種家用電器每台的銷售利潤與該電器的無故障使用時間（單位：年）有關. 若，則銷售利潤為0元；若，則銷售利潤為100元；若，則銷售利潤為200元.
設每台該種電器的無故障使用時間，及這三種情況發生的概率分別為，又知是方程的兩個根，且.
（ⅰ）求的值；（ⅱ）記表示銷售兩台這種家用電器的銷售利潤總和，求的分布列；
（ⅲ）求銷售兩台這種家用電器的銷售利潤總和的平均值.
19．(本小題滿分12分)如圖，已知正三稜柱—的底面邊長是，是側稜的中點，直線與側面所成的角為．
（ⅰ）求此正三稜柱的側稜長；
（ⅱ）求二面角的大小；
（ⅲ）求點到平面的距離．
20．(本小題滿分12分)已知函式在上是增函式.
（ⅰ）求的取值範圍；（ⅱ）在（ⅰ）的結論下,設，求函式的最小值.
21．(本小題滿分12分)若數列的前項和是二項展開式中各項係數的和．
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足，且，求數列的通項及其前項和；
（iii）求證：．
22．(本小題滿分14分)設是函式的乙個極值點。
（1）求與的關係式（用表示），並求的單調區間；
（2）設，若存在，使得成立，求的取值範圍。
南昌市2008-2009學年度高三調研考試模擬訓練
數學(理科)參***2009.01.11
13141516. ②
17. 解：(1)由，得
即 亦即 ，所以
(2) 因
而所以，有最小值當時，取得最小值。
又，則有最大值故的最大值為
18. 解：（ⅰ）由已知得. , .
是方程的兩個根, . ,.
（ⅱ）的可能取值為0，100，200，300，400.
=,=,=,
=,=.
隨機變數的分布列為：
（ⅲ）銷售利潤總和的平均值為
==240.
銷售兩台這種家用電器的利潤總和的平均值為240元
注：只求出，沒有說明平均值為240元，扣1分.
19. （ⅰ）設正三稜柱—的側稜長為．取中點，連．
是正三角形，．
又底面側面，且交線為．側面．
連，則直線與側面所成的角為．
在中，，解得．此正三稜柱的側稜長為
注：也可用向量法求側稜長．
（ⅱ）解法1：過作於，連，
側面． 為二面角的平面角
在中，，又
， ．
又在中故二面角的大小為
解法2：（向量法，見後）
（ⅲ）解法1：由（ⅱ）可知，平面,平面平面，且交線為，過作於，則平面
在中為中點，點到平面的距離為．
解法2：（思路）取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為．過點作於，則的長為點到平面的距離．
解法3：（思路）等體積變換:由可求．
解法4：（向量法，見後）
題（ⅱ）、（ⅲ）的向量解法：
（ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角座標系．
則．設為平面的法向量．
由得．取
又平面的乙個法向量
．結合圖形可知，二面角的大小為
（ⅲ）解法4：由（ⅱ）解法2，
點到平面的距離＝．
21. 解：（ⅰ）由題意, , 兩式相減得．
當時，, ∴．
．以上各式相加得.
∴,∴.
∴∴．（3）=
=4+∵, ∴ 需證明，用數學歸納法證明如下：
①當時，成立．
②假設時，命題成立即，
那麼，當時，成立．
由①、②可得，對於都有成立．
∴．22.解：（1）∵ ∴
由題意得：，即，
∴且令得，∵是函式的乙個極值點
∴，即故與的關係式為
（ⅰ）當時，，由得單增區間為：；
由得單減區間為：、；
（ⅰ）當時，，由得單增區間為：；
由得單減區間為：、；
（2）由（1）知：當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，，
∴在上的值域為,易知在上是增函式
∴在上的值域為
由於，又∵要存在，使得成立，
∴必須且只須解得： 所以：的取值範圍為
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