2008學年度四校質量調研
高三數學試卷（理科）
考生注意：
1.答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、准考證號填寫清楚.
2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.
一、填空題 (本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分。
1．已知，若為純虛數，則的值為。
2．已知集合，且，則實數的取值範圍是
3．已知函式，。
4．球面上有a、b、c三點，ab＝ac＝2，，球心到平面abc的距離為1，則球的表面積為。
5．已知數列滿足：，且對任意的正整數，都有，若數列
的前項和為，則。
6．若，且，則
7．已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則。
8．已知對於任意實數，函式滿足，若方程有且僅有2009個實數解，則這2009個實數解之和為
9．袋中有3個白球，2個紅球和若干個黑球（球的大小均相同），從中任取2個球，設每取得乙個黑球得0分，每取得乙個白球得1分，每取得乙個紅球得2分，已知得0分的概率為，則袋中黑球的個數為。
10．中，分別是角的對邊，已知，，現有以下判斷:
①不可能等於15；② 若,則；③若,則有兩解。請將所有正確的判斷序號填在橫線上
11．如圖所示，已知d是面積為1的△abc的邊ab的中點，e
是邊ac上任一點，鏈結de，f是線段de上一點，鏈結bf，
設，，，且，則△bdf的面積s的最
大值是二、選擇題(本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為a、b、c、d的四個結論，其中有且只有乙個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題後的圓括號內，選對得 4分，不選、選錯或者選出的代號超過乙個，一律得零分。
12．設已知全集，集合，則等於
（a） （b） （cd）
13．設
(a)0b)1c)2d)3
14．已知點是直線上一動點，pa、pb是圓的兩條切線，a、b是切點，若四邊形pacb（c為圓心）面積的最小值為2，則k的值為 （ ）
（a）3 （b） （c） （d）2
15．已知不等式對於,恆成立,則實數的取值範圍是( )
（abcd）
三、解答題(本大題滿分90分)本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
16.(本題滿分11分)如圖，、是單位圓上的點，是單位圓與軸正半軸的交點，點的座標為，三角形為等邊三角形。求及的值。
17. (本題滿分12分) 本題共有3個小題，每小題滿分4分。
如圖，四面體中，、分別是、的中點，
。（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求異面直線與所成角的大小；
（ⅲ）求點到平面的距離。
18. (本題滿分12分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。
某企業為打入國際市場，決定從a、b兩種產品中只選擇一種進行投資生產。已知投資生產這兩種產品的有關資料如下表：（單位：萬美元）
其中年固定成本與年生產的件數無關，為常數，且。另外，年銷售件b產品時需上交萬美元的特別關稅。
（1）寫出該廠分別投資生產a、b兩種產品的年利潤，與生產相應產品的件數之間的函式關係並指明其定義域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤。
19. (本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。
已知函式，
（1）判斷的奇偶性，並說明理由；
（2）當時，討論函式在區間上的單調性。
20. (本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。
在直角座標系中，橢圓的左、右焦點分別為,
也是拋物線的焦點，點為與在第一象限的交點，且。
（ⅰ）求點的的座標及橢圓的方程；
（ⅱ）已知直線，且與橢圓交於兩點，提出乙個與面積相關的問題，並作出正確解答。
21. (本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
已知為實數，數列滿足，當時，，
（1）當時，填寫下列列**：
（2）當時，求數列的前100項的和；
（3）令，求證：當時，。
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