上海市2013—2014學年度高三年級學業質量調研數學試卷
2014.2.23
考生注意： 本試卷共有23道題，滿分150分，考試時間120分鐘．
一．填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1.函式的定義域為
2.若直線與直線互相垂直，則實數
3.複數滿足=，則
4.乙個長方體的各頂點均在同一球面上，且乙個頂點上的三條稜的長分別為1,2,3，則此球的表面積為
5.在中，若，，，則
6.已知圓：，直線：，設圓上到直線的距離等於1的點的個數為，則
7.設等差數列的公差，前項的和為，則
8.已知是拋物線的焦點，是拋物線上兩點，線段的中點為，則的面積為
9.某工廠生產10個產品，其中有2個次品，從中任取3個產品進行檢測，則3個產品中至多有1個次品的概率為
10.如圖，有乙個形如六邊形的點陣，它的中心是乙個點（算第1層），第2層每邊有兩個點，第3層每邊有三個點，依次類推．如果乙個六邊形點陣共有169個點，那麼它一共有層
11.函式的圖象與軸的交點的橫座標構成乙個公差為的等差數列，要得到函式的圖象，只要將的圖象向右平移個單位
12.設，在平面直角座標系中，函式的圖象與軸交於點a，它的反函式的圖象與軸交於點b，並且兩函式圖象相交於點p，已知四邊形面積為6，則的值為
13.設函式的定義域為d，如果對於任意的，存在唯一的，使（c為常數）成立，則稱函式在d上的均值為c.下列五個函式：①②③④ ⑤，則滿足在其定義域上均值為2的所有函式的序號
14.若等差數列的首項為公差為，前項的和為，則數列為等差數列，且通項為．類似地，若各項均為正數的等比數列的首項為，公比為，前項的積為，則數列為等比數列,通項為
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有乙個正確答案，選對得5分，否則一律得零分.
15.下列有關命題的說法正確的是
a．命題「若，則」的否命題為：「若，則」．
b．「」是「」的必要不充分條件．
c．命題「存在使得」的否定是：「對任意均有」．
d．命題「若，則」的逆否命題為真命題．
16.已知函式f（x）=sin（2）的部分圖象如圖所示，點b，c是該圖象與x軸的交點，過點c的直線與該圖象交於d，e兩點，則（）·的值為
a． b． c．1 d．2
17.如圖，偶函式的圖象形如字母m，奇函式的圖象形如字母n，若方程： 的實數根的個數分別為a、b、c、d，則
a．27b．30c．33d．36
18.已知表示大於的最小整數，例如．下列命題:
①函式的值域是；
②若是等差數列，則也是等差數列；
③若是等比數列，則也是等比數列；
④若，則方程有個根.
其中正確的是
abcd.①④
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟 .
19．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分 ．
(1)將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側面，求圓錐的表面積和體積
(2)在中，滿足：,，求向量與向量的夾角的余弦值
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分 ．
已知分別在射線（不含端點）上運動，，在中，角、、所對的邊分別是、、．
（1）若、、依次成等差數列，且公差為2．求的值；
（2）若，，試用表示的周長，並求周長的最大值．
21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分9分 ．
已知函式
（1）判斷函式f (x)在區間(0, +∞)上的單調性，並加以證明；
（2）如果關於x的方程f (x) = kx2有四個不同的實數解，求實數k的取值範圍．
22． （本題滿分16分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分5分,第（3）小題滿分6分
在平面直角座標系xoy中，已知點a(-1, 0)、b(1, 0), 動點c滿足條件：△abc的周長為
2＋2.記動點c的軌跡為曲線w.
(1)求w的方程；
(2)經過點（0,）且斜率為k的直線l與曲線w 有兩個不同的交點p和q，求k的取值範圍
（3）已知點m（，0），n（0, 1），在(2)的條件下，是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.
23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分7分
設各項均為非負數的數列的為前項和（，）．
（1）求實數的值；
（2）求數列的通項公式（用表示）．
（3）證明：當（）時，
一．填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1. 2. 1 3. 5 4. 5. 6. 4 7. 3
8. 2 9. 10. 8 11. 12.3 13. (2)(3)(5) 14
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有乙個正確答案，選對得5分，否則一律得零分.
17. b 18d.
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟 .
19．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分 ．
(1)設扇形的半徑和圓錐的母線都為，圓錐的半徑為，則
(2)設向量與向量的夾角為
，令，20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分 ．
（1）、、成等差，且公差為2，
、. 又，，
恒等變形得，解得或.又， .
（2）在中
的周長，又， ,
當即時，取得最大值．
21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分9分 ．
(1),
上是減函式
上是增函式
(2)原方程即：
①恒為方程的乙個解．
②當時方程有解，則
當時，方程無解；
當時，，方程有解．
設方程的兩個根分別是則．
當時，方程有兩個不等的負根；
當時，方程有兩個相等的負根；
當時，方程有乙個負根
③當時，方程有解，則
當時，方程無解；
當時，，方程有解．
設方程的兩個根分別是
，當時，方程有乙個正根，
當時，方程沒有正根
綜上可得，當時，方程有四個不同的實數解
22． （本題滿分16分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分5分,第（3）小題滿分6分
(1) 設c（x, y）,
∵ , , ∴ ,
∴ 由定義知，動點c的軌跡是以a、b為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點.
∴ . ∴ ∴ w: .
(2) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.
整理，得
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點p和q等價於
，解得或.
∴ 滿足條件的k的取值範圍為
（3）設p（x1,y1）,q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2),
由①得又因為，， 所以.
所以與共線等價於.
將②③代入上式，解得.
所以不存在常數k，使得向量與共線.
23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分7分
（1）當時，，所以或，
若，則，取得，即，這與矛盾；
所以，取得，又，故，所以，
（2）記①，
則②，得，又數列各項均為非負數，且， 所以，
則，即，
當或時，也適合，
所以； （3）因為，所以，
又（）則（當且僅當時等號成立）
（當且僅當時等號成立）所以.
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數學試題 總分160分,考試時間120分鐘 一 填空題 本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.1 已知複數，則的虛部為 2 為了抗震救災，現要在學生人數比例為的 三所高校中，用分層抽樣方法抽取名志願者，若在高校恰好抽出了6名志願者，那麼 3 若命題...