演算法是《普通高中數學課程標準》中新增加的內容。設定演算法的目的是：讓學生集中學習演算法的初步知識，主要包括演算法的基本結構、基本語句、基本思想等 ，演算法思想將貫穿高中數學課程的相關部分，在其他相關部分還將進一步學習演算法．2023年山東、廣東、海南、寧夏四地的高考數學《考試說明》與往年相比，出現了一些新變化，其中「演算法與框圖」是高考新增加的內容之一，對其考查力度要達到《標準》的要求，不能低估教材新增內容在2023年高考中的地位。
本文根據2023年高考《考試說明》和對實施新課標的幾個省市的高考真題進行研究，旨在總結和**演算法初步試題的考題型別，並提示解決此類問題的方法與規律。
1．考查的形式與特點
演算法不僅是數學及其應用的重要組成部分，也是電腦科學的重要基礎。演算法初步雖然是新課標增加的內容，但與前面的知識有著密切的聯絡，並且與實際問題的聯絡也非常密切。因此，在高考中演算法初步知識將與函式、數列、三角、概率、實際問題等知識點進行整合，是高考試題命制的新「靚」點。
這樣試題就遵循了「在知識網路交匯處設計試題」的命制原則，既符合高考命題「能力立意」的宗旨，又突出了數學的學科特點。這樣做，可以從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，可以揭示數學各知識之間得到的內在聯絡，可以使考查達到必要的深度。
考查形式與特點是：
(1) 選擇題、填空題主要考查演算法的含義、流程圖、基本演算法語句等內容，一般在每份試卷中有1～2題，多為中檔題出現。
(2) 在解答題中可通過讓學生讀程式框圖去解決其它問題，此類試題往往是與數列題結合在一起，具有一定的綜合性，可以考查學生的識圖能力及對數列知識的掌握情況。
2．命題趨向與**
2．1 考查演算法的基本語句
這類題型主要考查對基本演算法語句的理解和應用，高考對演算法語句的考查一般以選擇題、填空題的形式考查，一是對乙個演算法程式中缺少的關鍵語句進行補充，二是寫出乙個演算法執行後的結果，難度不會太大。解答這類題目應注意熟練掌握賦值語句、條件語句、迴圈語句的格式，能夠根據題目的要求，利用恰當的演算法語句設計演算法。
【例1】 「x=3*5」，「x=x+1」是某一程式中的先後相鄰的兩個語句，那麼下列說法中正確的是( )
1 x=3*5的意思是x=3*5=15，此式與算術中的式子是一樣的；
2 x=3*5是將數值15賦給x；
3 x=3*5可以寫成3*5=x；
4 x=x+1語句執行時，「=」右邊x的值是15，執行後左邊x的值是16。
abcd．②③
解析：由賦值語句的特點本題應選b。
點評：本題主要考查賦值語句，在賦值語句中變數必須在等號的左邊，表示式必須在等號的右邊；乙個語句只能給乙個變數賦值，將乙個變數的賦值給另乙個變數，前乙個變數的值保持不變；可先後給乙個變數賦多個不同的值，但變數的取值總是最近被賦予的值。
【例2】 給出以下演算法：
s1 i=3，s=0
s2 i=i+2
s3 s=s+i
s4 s≥2009？如果s≥2009，執行s5；否則執行s2
s5 輸出i
s6 結束
則演算法完成後，輸出的i的值等於 。
解析：根據演算法可知，i的值in構成乙個等差數列，s的值是數列相應的前n項的和，且i1=5，d=2，所以in=2n+1。又s≥2009，所以n≥43，故in=89，所以輸出的i的值為89。
點評：本題主要結合數列的知識考查用自然語言描述的演算法，解題的關鍵是要理解s4。
2．2 考查程式框圖的功能
此類題目有兩種題型：一是給出程式框圖來指出功能；二是指出程式框圖輸出的結果。可以考查學生閱讀演算法程式框圖的能力，對演算法理解的程度，這是演算法初步試題的重要題型之一。
【例3】 如圖，下列程式框圖可用來估計π的值(假設函式conrnd(－1，1)是產生隨機數的函式，它能隨機產生區間(－1，1)內的任何乙個實數)。如果輸入1000，輸出的結果為788，則運用此方法估計的π的近似值為 (保留四位有效數字)。
解析：本題轉化為用幾何概型求概率的問題。根據程式框圖知，如果點在圓x2+y2=1內，m就相加一次；現n輸入1000，m起始值為0。
輸出結果為788，說明m相加了788次，也就是說有788個點在圓x2+y2=1內。設圓的面積為s1，正方形的面積為s2，則概率p==
∴π=4p=4×≈3.152
點評：本題是演算法框圖與幾何概型的整合，融合自然，具有創新性，有力地考查了基礎知識和邏輯思維能力，同時又能體會到求無理數近似值的一種演算法，可培養學生用數學的意識。
【例4】 (07 高考山東)閱讀右邊的程式框圖，若輸入的n是100，則輸出的變數s和t的值依次是( )
a．2500，2500 b．2550，2550
c．2500，2550 d．2550，2500
解析：由程式框圖知，s=100+98+96+……+2=2550
t=99+97+95+……+1=2500，選d
點評：該題主要考查演算法流程圖、等差數列求和等基礎知識，以及演算法思想、資料處理能力、語言轉換能力。本題採用直到型迴圈語句描述演算法，解題的關鍵是迴圈體中兩個n=n－1的理解，明確迴圈一次後n的值就減少了2。
2．3 完善程式框圖中的條件或內容
在不完整的程式框圖中，填補一些條件或內容，是高考考查演算法知識的一種重要題型，應引起足夠的重視。此類試題要求學生要有比較紮實的演算法初步的基本知識，以及綜合分析問題和解決問題的能力，對學生要求較高。
【例5】 乙個演算法的程式框圖如右圖所示，若該程式輸出的結果為，則判斷框中應填入的條件是 。
解析：由迴圈體可知，當sum=1時，s=0+；當sum=2時，s=+=，……，當sum=4時，s=+=，因此，判斷框中應填：「i<5?」或「sum<4？」
點評：本題設計角度比較新穎，具有探索性，同時答案又具開放性。此題融演算法、數列求和於一體，雖屬常規題，但由於問法不同，有力考查學生對數列、框圖等知識的掌握情況以及分析問題和解決問題的能力。
【例6】 (07高考廣東)如圖1是某縣參加2023年高考的學生身高條形統計圖，從左到右的各條形表示的學生人數依次記為a1、a2、……、a10(如a2表示身高(單位：cm)在[150，155)內的學生人數)。
圖2是統計圖1中身高在一定範圍內學生人數的乙個演算法流程圖。現要統計身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的學生人數，那麼在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是( )
a．i<6 b．i<7 c．i<8 d．i<9
解析：這題實質是乙個當型迴圈結構設計的演算法，由題意要統計身高在160~180cm(含160cm，不含180cm)的學生人數，事實上，是圖1中條形圖從第四個矩形到第七個矩形所對應的人數之和，即a4+a5+a6+a7，因此由迴圈結構，在流程圖中的判斷結構內應填寫的條件應是i<8，故選c。
點評：本題主要考查程式框圖中的當型迴圈結構及統計學中的知識，體現出在知識網路的交匯處命題的原則。解題的關鍵是了解條形圖的統計知識和當型迴圈結構的特點，並注意while型語句與until型語句之間的區別。
2．4 設計流程圖或編寫程式解決問題
設計流程圖或編(改)寫程式解決問題，是演算法初步試題中要求比較高難度也比較大的一種題型，此類試題一般會在解答題中出現，以演算法為載體，同時也可與其它主幹知識點進行交匯，要求學生對演算法要有本質的理解，這樣命題不僅關注學生的思維結果，更關注學生的思維過程。
【例7】 根據下面的要求，求滿足1+2+3+4+……+n>560的最小自然數n。
(1) 要求畫出執行該問題的程式框圖；
(2) 以下是解決該問題的乙個程式，但有幾處錯誤，請找出錯誤並在右邊改正。
解析：(1)程式框圖如下圖所示：
(2)應將「s=1」改為「s=0」；「do」改為「while」；「print n+1」改為「print n」
點評：本題主要是結合不等式考查程式框圖的理解和應用能力，具有創新性。解決本題的關鍵是要對迴圈次數的理解，以及迴圈語句中「當型」和「直到型」的區別。
在畫迴圈結構的程式框圖時應注意選擇合理的迴圈變數及判斷框內的條件。
2．5 解決實際問題
在程式設計的過程中，常常遇到實際問題，增加了解題的難度，處理這類問題的基本思路是：分析實際問題－－建立數學模型－－設計程式框圖－－用演算法語言描述。此類試題情境設定比較新穎，可以考查學生的應用意識，使學生領悟演算法思想不但體現在計算機程式設計中，還體現在日常生活中。
鐵路託運行李，從甲地到乙地，按規定每張客票託運行李不超過50kg時，每千克0.2元，超過50kg時，超過部分按每千克0.25元計算，某同學畫出了計算行李**的演算法框圖(如圖所示)，則在程式框圖中(1)應填的內容是2)應填的內容是
解析：由題意這兩處分別應填y=0.2*50+0.25*(x－50)和y=0.2*x。
點評：本題主要考查關於條件語句的應用問題。通過數學建模，將實際問題轉化為分段函式問題，關於分段函式的題目在設計程式時都會用到條件語句，分類的標準是條件語句的條件。
2．6 演算法初步知識的綜合應用
演算法初步的綜合應用主要體現在演算法框圖與數列的綜合題聯絡在一起，此類試題綜合性強、靈活性大，保持了能力立意的特點，備受命題者的青睞，成為新課標高考的一大亮點，是高考試題命制的全新嘗試。
【例8】 根據如圖所示的程式框圖，將輸出的x、y值依次分別記為x1，x2，……，xn，……，x2008；y1，y2，……，yn，……，y2008。
(1) 求數列的通項公式xn；
(2) 寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數列的乙個通項公式yn，並證明你的結論；
(3) 求zn=x1y1+x2y2+……+xnyn(x∈n*，n≤2008)
解析：(1)由題意和框圖知，數列中，x1=1，xn+1=xn+2
∴xn=1+2(n－1)=2n－1(n∈n*，n≤2008)
(2)y1=2，y2=8，y3=26，y4=80
由此猜想yn=3n－1(n∈n*，n≤2008)
證明：由框圖知，數列中，yn+1=3yn+2
∴yn+1+1=3(yn+1)
∴=3，y1+1=3
∴數列是以首項為3，公比為3的等比數列。
∴yn+1=3·3n－1=3n
∴yn=3n－1(n∈n*，n≤2008)
(3)zn= x1y1+x2y2+……+xnyn
=1×(3－1)+3×(32－1)+……+(2n－1)·(3n－1)
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